Examen AP Calculus BC, 2011. Pregunta 6b

inciso b escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de taylor para el coseno dx alrededor de x0 y además usa esta serie y la serie del seno de x cuadrada que encontraste en el inciso a para escribir los primeros cuatro términos no los de la serie de taylor para la función f la función f que teníamos acá arriba alrededor de x igual a 0 bueno pues lo que necesitamos primero es encontrar la serie de taylor para el coseno de x entonces vamos a hacerla una vez en la serie de taylor como vimos en el inciso a era esta que teníamos aquí era una serie que aproximaba a la función original entonces queremos los primeros cuatro términos de la serie de taylor para el coste de x entonces hdx es igual al concepto de x una nueva función quién es h evaluada en 0 pues es con seno de 0 que es 1 entonces h 0 es 1 ahora vamos a derivar la h prima de x es igual a la derivada del coseno que es igual al menos seno de x y darse cuenta que es lo mismo que del inciso anterior solamente que una derivada aunque de todas maneras lo voy a hacer con calma para no perdernos h prima evaluada en cero pues es igual hace 900 pues entonces es 0 a 10 y prima de x quien es pues es la derivada del menú seno de x que es el menos coseno de x la derivada del seno 50 x menos es menos coseno de x y esta segunda derivada evaluada en 0 es lo mismo que el seno de cero es uno por menos me queda menos uno menos uno ahora vamos a sacar la tercera derivada la tercera derivada de x es igual a la derivada del - coseno de x que es el seno de x positivo el seno de x y xi le evaluamos la tercera derivada en cero pues me quedase no de cero que es cero muy bien y se dan cuenta a partir de aquí las derivadas se van a empezar a repetir la derivada del seno es el coseno por lo tanto va a pasar lo mismo que me decís o anterior lo voy a poner aquí no mejor acá entonces la cuarta derivada de x va a ser igual a la derivada del seno de x pero si nosotros evaluamos en cero 1 la derivada del seno de x es el coseno de x evaluada en 0 nos da 1 entonces h de 0 es lo mismo que h 4a de 0 y es lo mismo para la quinta derivada evaluada en 0 va a dar 0 y la sexta derivada evaluada en 0 me va a dar menos 1 y la séptima derivada evaluada en 0 me va a dar 0 y las siguientes derivadas se van a seguir repitiendo es decir las derivadas sucesivas del coseno de x forman un ciclo son cíclicas muy bien entonces hasta aquí vamos bien pero yo lo que quiero son los primeros cuatro términos no nulos entonces vamos a encontrar los h de 0 en 1h mi primer 0 es nulo la derivada cuarta evaluado en ceros no nula y la derivada sexta evaluada en 0 también es no nula entonces la aproximación en sede de taylor de los primeros 4 términos no nulos del coseno de x quien va a ser pues bueno primero es h en cero pero h en cero es uno entonces solamente ponemos uno es uno solo recuerda no confundirse en hdx y fx fx lo pusimos en nuestra fórmula del polinomio de taylor pero aquí estamos utilizando a hdx entonces vamos a seguirle h prima evaluada en 0 es 0 entonces pues este término se va no es necesario ponerlo a hb prima evaluada en ceros menos uno por equis cuadrada entre dos factorial pues me queda menos x cuadrado entre 2 factoriales y a esto hay que sumarle la tercera derivada pero la tercera derivada de evaluado en cero es cero entonces se va la cuarta derivada es 1 entonces más 1 por bueno necesario poner el 1 es x 4 entre 4 factorial y después la quinta derivada de verdad en 00 y la sexta derivada de igualdad en cero es menos 1 entonces - x sexta entre 6 factoriales y cuando esto ya encontramos la primera parte del inciso p de este problema por lo tanto vamos una vez a ver la segunda parte de este inciso b que decía usa la usa la serie esta serie y la serie que encontramos en situada para seno de x cuadrada que es hasta que tenemos aquí de hecho la simplificamos un poco era esta que teníamos acá entonces le voy a atrapar usa nuestra aproximación para el corte no de x para el seno de x elevado al cuadrado para encontrar los primeros cuatro términos de la serie de taylor que aproxima a fx alrededor de x igual a cero ésta fx entonces vamos a aumentarle para acá antes de que se nos olvide fx es igual al seno de x elevado al cuadrado más el coseno de x y bueno queremos los primeros cuatro términos no nulos de la serie de taylor que aproximen a efe de x por lo tanto fx es aproximadamente que bueno además si se utiliza las aproximaciones para el seno de x elevado al cuadrado más el concepto de x entonces vamos a recordar la aproximación para el coste no de x era ésta que tenemos aquí y la del seno de que es elevada al cuadrado es ésta que tenemos hasta acá por lo tanto la aproximación de fx pues es uno que es el término más pequeño de la aproximación de coseno de x ya su vez de seno de x elevado al cuadrado es el término más pequeño y después el término que le sigue va a ser x cuadrada pero que es cuadrado aparecen los dos aparece tanto en la aproximación del concepto de x como la aproximación del seno de ex cuadrada por lo tanto se me ocurre mejor hacerlo de esta manera quien era el seno de x al cuadrado su aproximación en serie de taylor pues es x cuadrado menos x está entre 3 factorial más a esto hay que sumarle a 10 x a la 10 entre 5 factorial menos x a la 14 entre 7 factorial los voy a poner todos juntos y después vamos a agrupar términos semejantes y bueno a esto hay que aumentarle a la aproximación del coseno de x que genera era este de aquí entonces más 1 - x cuadrada entre 2 factoriales más x cuarta entre 4 factorial menos equis extra entre 6 factoriales y bueno ya con esto tenemos los primeros cuatro términos de la aproximación de seno de x cuadrado y tenemos los cuatros nuevos términos de aproximación del coche de x ahora lo que quiero ellos los cuatro primeros términos de la aproximación en serie de taylor df de x por lo tanto quien va a ser como queremos solamente los cuatro primeros términos de la aproximación de fx no voy a tomar el primer término más pequeño de todos los términos que tenemos acá arriba que es 1 y después a esto le aumentamos pues no hay nada con x entonces que fijarnos lo que hay con x cuadrada que es este de aquí y este de canto le voy a poner más x cuadrada que es este de aquí y a esto hay que restarle x cuadrada entre 2 factoriales que es lo mismo que x cuadrada entre todos porque 2 factoriales 2 entonces menos un medio de x cuadrada bien ya todo esto hay que aumentar lo que hay de x cúbica pero no hay nada de x cúbica entonces hay que aumentarle lo que sigue no hay nada de equis cúbica entonces x 4x cuarta es lo que el exponente que sigue y solamente está este término de aquí por lo tanto vamos a aumentarse lo más x cuarta entre 4 factorial x cuarta entre 4 factorial ahora vamos a buscar x quintas en nuestra en nuestra aproximación que tenemos acá arriba en todos los términos que tenemos acá arriba no hay nada con x quinta entonces pues no ponemos nada con x quinta y sin embargo si hay con x sexta que es este de aquí y este de acá entonces ambos son negativos por lo tanto voy a poner un signo de menos paréntesis quien pues x sexta entre 3 factorial ya éstos le tengo que sumar x sexta entre 6 factorial porque acabo de factorizar el menos menos x x está en 3 factoriales es menos x 63 factorial y menos por x sexta entre 6 factoriales menos x está en 36 factorial y bueno ahora sí ya tenemos los cuatro primeros términos de la aproximación de fx entonces vamos a simplificar es uno más x cuadrada menos un medio de ecuador a da pues es un medio de x cuadrada eso está muy fácil x cuadrada entre 2 ya esto le voy a aumentar a x 4 entre 4 factorial esto lo voy a dejar así para más problemas ya esto le tenemos que restar x sexta entre 3 factorial en + x está entre 6 factorial pero bueno lo que tenemos que hacer es simplificar este término de aquí bueno 3 factorial lo dejamos y se es factor ya es lo mismo que 3 factorial por 4 por 5 por 6 4 por ciento 20 por 620 entonces esto es lo mismo que 120 por 3 factorial y bueno como quiero poner aquí la respuesta correcta entonces voy a tratar de simplificar y sacar el mínimo común múltiplo acá arriba entonces mejor aquí arriba lo voy a poner todo como simplificó esto pues me queda x sexta entre tres factorial voy a multiplicarlo todo tanto arriba como abajo por cuatro por cinco por seis entonces me queda x extra entre tres factorial por cuatro por cinco por seis y arriba me voy a poner 120 bien ya esto hay que agregarle este todo esto de aquí abajo es multifactorial entonces voy a poner 6 factorial ya esto le voy a agregar x sexta entre 6 factorial ya sea que el mínimo común múltiplo queda 6 factorial y esto es ni más ni menos que 121 x sexta entre 6 factoriales y bueno por este - que tenía aquí me queda menos 121 x sexta entre 6 factorial y perfecto hemos acabado ya encontramos los cuatro primeros términos no nulos de la serie de taylor que aproxima a la función f x