Examen AP Calculus BC, 2011. Pregunta 6d

inciso d sea subíndice 4 el polinomio de cuarto grado de la serie de taylor para efe alrededor de x igual a 0 usa la información de la gráfica de ye igual al valor absoluto de la quinta derivada de x que se muestra a continuación es la gráfica que tengo ya aquí para mostrar que el valor absoluto del polinomio de cuarto grado de la serie de taylor evaluado en un cuarto menos la función evaluada en un cuarto es menor que 1 entre 3000 y este problema ya está mucho más interesante que todos los demás desde cuenta que ya puse la gráfica de ye igual al valor absoluto de la de quinta derivada de x porque ya la voy a ocupar entonces qué es lo que me piden me piden que el valor absoluto del polinomio de cuarto grado evaluado en un cuarto menos la función evaluada en un cuarto todo esto un valor absoluto es menor que 1 entre 3000 es decir el error que tengo al comparar mi polinomio de cuarto grado de la serie de taylor mi aproximación de ese polinomio comparado con mi función evaluado en un cuarto entonces vamos a tratar de hacer una gráfica supongamos que esta era mi función original y yo lo que tenía era una aproximación alrededor del punto x0 que es este de aquí entonces mi aproximación supongamos que es esta función de amarillo que tengo yo aquí se dan cuenta en cero pues las funciones son iguales pero yo lo que quiero ahorita es ver qué margen de error estoy cometiendo no en el cero sino en mi función evaluada en un cuarto entonces este es el punto 14 y dese cuenta que yo aquí tengo mi polinomio me aproximación en un cuarto y aquí yo tengo la función original y yo lo que quiero es la distancia entre ellas dos o dicho de otra manera el error que yo estoy cometiendo con mi aproximación de los cuatro primeros términos de mi serie de taylor alrededor de x igual a cero yo lo que quiero mostrar es que ese error es más pequeño que uno entre 3.000 y bueno para resolver este problema hay algo que ustedes deben saber algo donde yo construir un vídeo creo que era un par de vídeos en la sección de cálculo de la página de khan academy punto org en el cual yo trataba acerca de la idea del límite o no recuerdo si era aproximación la serie de taylor o error algo así se llamaba en los vídeos pero lo importante aquí era la esencia que hay detrás de cómo vamos a resolver esto si ésta es fx y yo agarro un polinomio de grado n de x un polinomio de grado n de x de la serie de taylor alrededor de un punto y en este caso el punto hay es x igual a 0 pero bueno el polinomio de grado n de la serie de taylor está alrededor de un punto x iguala a muy bien yo lo que quiero enseñarles y lo que vimos en este vídeo es como construyó la función de error entonces le voy a poner aquí error la función del error del polinomio de grado en alrededor del punto a que es a su vez una función de x el error estamos hablando de la diferencia va a ser la diferencia entre estas dos cosas que tengo aquí entre la función de x menos el polinomio de grado ndx de la serie de taylor entonces es fx menos el polinomio de grado ndx y bueno de hecho diosito me cuadra absoluto aquí pues es lo mismo que tomar el valor absoluto aquí y por lo tanto pues esto es lo mismo que decir que el valor absoluto del polinomio de grado n de x menos la función fx y lo importante que nosotros debemos saber es que este error lo podemos acotar lo vamos a poder acotar es que este error depende de n de un valor n del grado del polinomio pero si nosotros sabemos propiedades acerca de la n-1 derivada entonces estas propiedades nos van a ayudar si nosotros sabemos que la n-1 derivada de esta función de fx es menor o igual que una cierto valor m el otro absoluto el valor absoluto de esta animación derivada de x es menor o igual que un cierto valor m en un intervalo como decirlo en x existente en el intervalo cerrado a b donde b es un número que es mayor que a eso es importante donde b es más grande que am entonces va a pasar lo siguiente y esto lo vimos en el vídeo que les comento acerca de los límites acerca de la del error de aproximación en la serie de taylor pasa lo siguiente entonces el valor absoluto del error de x va a ser menor y aquí está incluido el error el error que queremos va a ser menor o igual va a ser a valor absoluto es menor o igual que que quien va a ser a pues esa vez probamos que esto es menor o igual que m por x menos elevado a la n 1 entre en + 1 y aquí ya tenemos una cuota para el error y bueno yo sé que no es momento de demostrar este este enunciado que le estoy diciendo si quieren demostrarlo si quieren recordarlo sería bueno que vean el vídeo que le estaba comentando sin embargo qué útil va a ser utilizar este enunciado que estoy mencionando aquí y aunque no lo pruebe porque este es un vídeo de las respuestas del examen de cálculo bc de 2011 lo que si va a ser muy importante es utilizar este esta frase que tengo yo aquí entonces bueno nosotros sabemos quién es el polinomio 4dx que aproximaba a la serie de los nosotros habíamos sacado un delicioso ave esta aproximación de cuatro términos y si nosotros queremos el por el nombre de grado cuatro pues son solamente uno más x cuadradas sobre dos y a esto hay que sumarle x cuarta sobre cuatro factorial y entonces pues ya puedo yo utilizar una cota o una aproximación para este error de hecho esta cota ya es muy sencilla porque ya lo que hay que hacer es solamente sustituir en esta cota para el error de x entonces pues vamos a hacerlo el error del que estábamos hablando en este teorema es el error subíndice en el que es el error que teníamos aquí arriba es el que error que queremos entonces que me va a quedar pues el valor absoluto del error 4 porque el que quiero es el polinomio de grado 4 de xx no realmente quiero evaluado en un cuarto entonces yo lo que quiero es el error en un cuarto esto va a ser en valor absoluto menor o igual a quien bueno estamos de que sustituir desde cuenta que aquí b es un cuarto y pues es el valor que nosotros teníamos de x igual a cero entonces esto va a ser menor o igual que m m que tenemos que encontrar por b bueno me vale un cuarto entonces una vez por un cuarto menos pero a vale cero entonces siempre y sencillamente un cuarto se queda m por un cuarto elevado a la enee más uno pero en es 4 entonces solamente hay que poner en 1 es 5 entonces es un cuarto a la quinta potencia y todo esto es dividido entre 5 expedientes verdad que hay un pequeño error ese de massú no factoriales pero no confundirlos es n 1 factorial entonces es entre 5 factorial perdón es por aquí el error de además no factoriales pero no confundirlos pero así dice el teorema que les estaba mencionando entonces entre 5 factorial pero aquí no acaba denunciado este error se cumple si pasa lo siguiente si pasa que efe si pasa que la derivada quinta de equis en valor absoluto es muy importante menor absoluto es menor o igual que una cuota m está en valor absoluto es menor que una cuota m sí yo sé esto en el intervalo en el que está x x está en el intervalo de a a era cero entonces el intervalo de cero a b que era un cuarto entonces si yo encuentro una cota en este intervalo para el cual mi función es siempre menor entonces yo sé que este error si se puede aproximar y vamos a ver si nosotros nos damos cuenta aquí es un cuarto entonces si aquí es un cuarto pues este valor es como 32 33 no sé pero lo que sí estoy segurísimo es que es menor que 40 en el intervalo 0 a un cuarto esta función de la derivada quinta de x es menor que 40 entonces ya tenemos una buena cuota para el m en lugar de vamos a poner 40 sustituimos a m por 40 y ahora sí voy a reescribir todo esto para que quede mucho más limpio entonces voy a bajarlo a algunas personas en lugar de poner el error subíndice 4 de un cuarto prefieren ponerlo ya como está que es el valor absoluto del polinomio de grado 4 evaluado en un cuarto menos evaluado en un cuarto recuerden que esto lo habíamos definido así desde un principio es evaluado en un cuarto en valor absoluto es menor o igual a quien pues bueno es menor o igual que 40 por el cuarto a la quinta pero uno a la quinta es uno y cuatro a la quinta pues quien se dé cuenta de saber que vamos a ver entonces esto es lo mismo que 40 entre 4 a la quinta por 5 factorial pero simple factorial es lo mismo que 5 por 4 por 3 por 2 por 1 pero pues el 1 no lo ponemos y bueno esto lo podemos reducir porque pues que 40 le podemos sacar cuarta y es 10 entonces le sacamos cuarta y esto es 1 le podemos sacar quinta que es 2 entonces es 1 le podemos sacar mitad que es 1 mitad que es bueno entonces aquí también tenemos echamos de dos y ahora sí que nos quedamos queda algo este más reducido entonces esto es menor o igual donde propongo lo voy a poner más abajo esto es menor o igual que 1 entre 4 a la quinta por 3 a esto hay que multiplicarlo por el 3 que era lo único que me había sobrado del 5 factorial por 3 bien pero bueno cuántos 4 a la quinta 4 de quinta quién sabe cuánto sea pero es lo mismo que 2 a la décima entonces 4 a la quinta por las leyes de los exponentes es lo mismo que 2 a la décima porque 4 estos al cuadrado y bueno 2 a la décima es lo mismo que 1024 ustedes lo pueden hacer a mano o lo pueden sacar una calculadora pero dos a la décima es 1024 entonces esto es menor o igual que uno entre 1024 por tres en el 24 por 3 pues tres por mil es 3.000 y 24 por 33 72 entonces esto es menor o igual que uno entre tres mil 72 muy bien entonces ya tenemos que esta diferencia que tenemos aquí en valor absoluto es menor o igual que uno entre 3.000 72 que nosotros queríamos que esta diferencia fuera menor que uno entre 3.000 pero pues ya acabamos por qué pues porque claramente uno entre tres mil 72 es menor o igual que 1 33 mil entre 3000 y un error 3000 que era lo que yo quería probar que el error en un cuarto era menor que 1 entre 3000 lo que la diferencia entre esos dos valores era menor que 1 entre 3000