Examen AP Calculus BC, 2015. Pregunta 5c

a parte se encuentra el valor de campo para el cual la función efe tiene un punto crítico en x igual a menos 5 y bien lo primero que hice fue copiar aquí la función fx que es igual a 1 / x cuadrada - k x y también copie la función f prima de x que es cada menos 2x / x cuadrada - k x todo esto elevado al cuadrado esta información nos la dan al principio del problema muy bien así que con estas dos funciones lo que quiero encontrar es el valor de camps para el cual la función ftx tiene un punto crítico en x igual a menos 5 y bueno si nosotros queremos que f tenga un punto crítico en x igual a menos 5 eso qué significa déjame ponerlo aquí efe tiene un punto crítico x igual a menos 5 si pasan dos cosas así que las voy a poner aquí la primera de ellas es que este valor de x igual a menos 5 debe de estar en el dominio así que voy a ponerle que está en el dominio es decir significa que la función está definida en este punto x igual a menos 5 y lo segundo que se tiene que cumplir es que f prima de menos 5 tiene que ser igual a 0 o en su dado caso f prima de menos 5 tiene que ser indefinida d fin me da muy bien efe prima evaluada en este punto x 250 o f prima evaluada en este punto x igual a menos 5 es indefinida porque recuerda un punto crítico es un miembro del dominio de una función en el cual la derivada de la función aplicada al punto debe de ser igual a 0 o debe de ser indefinida así que qué te parece si evaluamos a efe prima de x en equis igual a menos 5 y para eso tenemos aquí a efe prima de x entonces voy a evaluar f prima de menos 5 y bueno esto me va a quedar lo mismo que si sustituyó el valor de x por menos 5 aquí que me va a quedar me va a quedar acá menos 2 que multiplica a menos 5 muy bien y esto a su vez está dividido entre -5 esto elevado al cuadrado menos camps que multiplica al menos 5 y después todo esto está elevado al cuadrado todo esto está elevado al cuadrado bien y ahora ya tenemos esta función escrita en términos de cama bueno esto se puede reducir un poco me quedaría lo mismo que acá menos por menos es más camas 10 esto dividido entre y aquí tengo bueno aquí me quedarían 25 + 5 veces camps todo esto elevado al cuadrado entonces qué valor de cam hacen que f prima de menos 5 que esto de aquí sea igual a 0 bueno pues si f prima de menos 5 es igual a 0 eso quiere decir que acá más 10 tendría que ser igual a cero esto implica que cada más 10 tiene que ser igual a 0 aunque camps tomaría el valor de menos 10 estás de acuerdo este es el valor de acá para el cual afecten de un punto crítico en x igual a menos 5 y bueno tiene un punto crítico en x igual a menos 5 porque este numerador lo hicimos igual a 0 y entonces este valor de camps es el valor que hacen que esté numerador de esta fracción sea igual a 0 y por eso hace a efe prima de menos 5 igual y bueno tal vez estés pensando que valores de campo hacen que la derivada de la función evaluada en x igual a menos 5 sea indefinida y bueno para contestar eso déjame bajar un poco la pantalla para contestar eso podemos hacer lo siguiente ahora queremos ver para que camps f prima de menos 5 esto es indefinido y d fin 'vida y bueno es indefinida cuando la parte de acá abajo es igual a cero es decir cuando acá toma el valor de menos cinco porque si tienes 25 más sin tocar igual a cero eso quiere decir que camps tomaría el valor de menos 5 entonces podemos decir que f prima de menos 5 es indefinida cuando camps toma este valor y hasta que todo bien pero ojo ten cuidado porque si cada toma el valor de menos 5 entonces x igual a 5 no es un punto crítico porque porque no estaría en el dominio observa que si acá vale menos 5 entonces cómo se vería efe de x bueno pues fx se vería de la forma fx se vería de la forma 1 entre x cuadrada más porque aquí tenemos un signo de menos menos por menos me da más más 5x y observa que en este caso cuando x toma el valor de menos 5 la parte de acá abajo se hace igual a 0 me quedaría 1 entre 25 menos 25 lo cual no está definido entonces acá igual a menos 5 no hace a x igual a menos 5 un punto crítico porque no estaría en el dominio entonces recuerdan y esto es muy importante para tener un punto crítico se deben de cumplir dos cosas primero que ese valor de x esté en el dominio y segundo que la derivada en ese punto sea igual a cero o sea indefinida así que en este caso cuando acá vale igual a menos 5 se tiene que la derivada es indefinida pero si k es igual a menos cinco entonces x igual a menos 5 no es en el dominio entonces en este caso no tendríamos un punto crítico por lo tanto podemos decir que mi único resultado de este inciso c es k igual a 10 porque en este caso tenemos que la primera derivada evaluada al menos 5 es igual a cero y menos 5 si está en el dominio así que esta es la respuesta