Examen AP Calculus BC, 2015. Pregunta 6a

la serie de mclaren para una función f está dada por y bueno aquí tenemos a la serie en notación signal y también tenemos a la serie en notación expandida y después dice esta serie convergen fx para el valor absoluto de x menor que r dónde r es el radio de convergencia de la serie d mclovin inciso a usa el criterio de la razón del radio de convergencia para hallar a r primero si estos términos de una serie de maclaurin o de series que convergen o de pruebas de radio son completamente extrañas para ti o lo has olvidado y tiene recuerdos confusos y borrosos de todo esto entonces sería muy bueno que repasarán estos conceptos en la canacar n hay un montón de vídeos y de ejercicios sobre cada uno de estos conceptos pero si tienes una idea sobre esto vamos a reforzarla recordando primero que es el criterio de la razón y bueno el criterio de la razón dice que si tenemos una serie infinita si nos tomamos una serie infinita desde n igual a 1 hasta el infinito de un montón de términos que les voy a poner a n entonces el criterio de la razón nos dice déjame escribirlo aquí el criterio de la razón dice lo siguiente primero que si consideras la razón entre dos términos sucesivos es decir la razón entre a en más uno esto dividido a su vez entre a n y después nos fijamos en el valor absoluto de este radio nos fijamos en el valor absoluto de este radio bueno esto por sí solo no va a ser una constante como vemos en las series geométricas de hecho esto de aquí va a ser una función de n y lo que queremos ver es el comportamiento de esta razón cuando n es más y más y más grande porque ya sabes si estamos sumando todos estos términos por lo tanto nos estamos acercando a infinito entonces queremos encontrar el límite de esto me voy a tomar el límite límite cuando n tiende a infinito de esto que tengo aquí esto es justo lo que nos dice el criterio de la razón y si este límite existe y es igual a l supongamos entonces si él en dejan escribirlo así si l es menor que 1 eso quiere decir que la serie converge déjame ponerlo así si él es menor que 1 entonces entonces la serie convergen serie convergen y bueno si está l es mayor que 1 entonces la serie divergen y si él es igual a 1 podemos decir que esto es inconcluso entonces lo que queremos hacer aquí es encontrar de esta serie que tengo aquí primero la razón de esta serie y después nos vamos a tomar el valor absoluto y una vez que ya lo hicimos vamos a tomarnos el límite cuando n tiende a infinito para ver para qué valores de x este límite es menor que 1 así que manos a la obra primero pensemos qué es lo que va a pasar con el subíndice n uno está dividido a su vez entre a subíndice n y lo que queremos ver es cuánto vale esta razón entonces a subíndice n 1 es lo mismo que sustituir el valor de n por n 1 en esta expresión y me quedaría lo siguiente me va a quedar menos 3 esto elevado a lahm y aquí en lugar de n voy a poner n 1 n más uno menos uno bueno esto lo mismo que n entonces voy a poner simplemente n por equis elevado a la enee más uno muy bien esto dividido a su vez entre n 1 entre n 1 y todo esto lo vamos a dividir entre a subíndice n iv a subíndice n eso es lo que tenemos aquí 3 elevado a la n 1 que multiplica a x elevado a la n todo esto dividido entre n muy bien ahora esta división de aquí bueno esto va a ser igual a tener esto entre esto es lo mismo que multiplicar a esto por el recíproco de lo que tenemos abajo entonces me quedaría menos 3 elevado a la n por x elevado a la n-1 está dividido entre n más uno y esto a su vez que multiplica al cíclico de este es decir n entre entre menos tres elevado a la potencia en el -1 y esto que multiplica elevado a la n muy bien y ahora vamos a simplificar esto lo primero que se me ocurre es que podemos dividir el numerador y el denominador por equis elevado a la n iv entonces acá abajo me va a quedar x a la n entre x l n lo cual es lo mismo que uno ya que arriba me va a quedar x al n 1 entre x l n lo cual es simplemente x muy bien esto que multiplica y ahora voy a dividir tanto el numerador como el denominador por menos 3 elevado a la n 1 entonces esto de aquí me va a quedar simplemente 1 y aquí me va a quedar menos 3 elevado a la n entre menos 3 elevado a la n 1 bueno pues eso es lo mismo que menos 3 muy bien y entonces todo esto me va a quedar igual a menos 3 que multiplica a x que a su vez multiplica a n todo esto dividido entre n más uno muy bien y ahora lo que queremos y ahora lo que queremos es tomarnos el límite cuando n tiende a infinito del valor absoluto de esta expresión que tengo aquí es decir queremos fijarnos déjeme bajar un poco la pantalla y entonces nos vamos a aplicar en el límite cuando n tiende a infinito cuando n tiende a infinito de bueno el valor absoluto de menos 3x n está dividido a su vez entre en más muy bien y ahora seguramente reconoces algo en este límite porque puedes ver que tenemos el mismo grado tanto arriba como abajo ambos son n elevado a la primera potencia entonces esto de aquí lo podemos escribir de la siguiente manera como el límite cuando n tiende a infinito de bueno el valor absoluto de menos 3x pero bueno esto lo podemos ver de la siguiente manera esto lo podemos ver como 3 que multiplican al valor absoluto de x porque el valor absoluto de menos 3 estrés y stones que multiplica al valor absoluto de n entre n 1 entre n más 1 y estoy seguro que ya puedes ver que este límite tiende a 1 y si no lo podemos ver más claro así esto es lo mismo que él límite cuando n tiende a infinito de bueno 3 que multiplica al valor absoluto de x esto que multiplica al valor absoluto de y qué pasa si divido el numerador y el denominador entre n en esta expresión voy a simplificar un poco me quedaría uno estoy dividido entre bueno aquí me queda en entrene lo cual es uno más uno entre n lo cual es uno entre n y ahora sí puedes ver que esto de aquí va a atender a uno cuando n tiende a infinito porque uno sobre n esto va a tender a cero entonces todo esto de aquí tiende a 1 me va a quedar simplemente que es igual a 3 que multiplica al valor absoluto de esto es lo que vale este límite de aquí por lo tanto esta serie va a converger si esto de aquí es menor que 1 déjame notarlo la serie convergen sí si 3 que multiplica al valor absoluto de x esto es menor que 1 o bueno de aquí podemos decir que el valor absoluto de x tiene que ser menor a 1 tercio y ya está porque entonces hemos encontrado que el radio de convergencia r que nosotros buscábamos es lo mismo que un tercio eso quiere decir que esta serie de mclaren va a converger si el valor absoluto de x es menor que un tercio o podemos decir que el radio de convergencia es igual a un tercio y ya con esto acabamos el primer inciso