Examen AP Calculus BC, 2015. Pregunta 6c

vamos al inciso se escriben los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie de mclovin para a la equis usa la serie de mclaren para la equis para escribir un polinomio de taylor de tercer grado para que dé x igual a la x por fx alrededor de x igual a 0 y bueno acá abajo tengo a fx los vamos a utilizar en un momento pero de nuevo te digo si todos estos términos como seres de maclaurin o series de taylor te parecen desconocidos no es familiar para ti entonces observa los vídeos y haz los ejercicios en la canaca de mil sobre estos temas independientemente de que ahorita de un pequeño repaso por aquí y para eso vamos a hablar acerca de una serie de marketing de fx así que imagínate que tú te tomas a una función efe de x entonces la serie de mclaren para esta función fx será aproximadamente igual porque bueno solamente vamos a hacer algunos términos aproximadamente igual a efe de 0 a efe de 0 esto por x elevado a la 0 y a esto lo dividimos entre 0 factorial bien ya esto le sumamos f prima de 0 que multiplica a x elevado a la primera potencia esto dividido entre 1 factorial ya esto le sumamos f mi prima de 0 ok por x elevado al cuadrado muy bien estoy dividido entre 2 factorial creo que ya ves el patrón de todo esto y a esto le sumamos f tri prima en la tercera derivada de f con respecto a x lo voy a escribir así f prima prima prima esto que multiplica a x elevado al cubo y esto dividido entre 3 factorial y bueno así nos vamos a seguir y seguir y seguir y bueno justo por eso estoy poniendo que es aproximadamente porque aquí solamente estoy poniendo los cuatro primeros términos y bueno claro cero factorial y x elevado a cero estos dos es lo mismo que uno entonces simplemente me queda efe de cero y aquí uno factorial también es 1 entonces solamente me queda f prima de 0 por equis y así nos podemos seguir entonces esto es aproximado y ahora quiero que hagamos exactamente lo mismo pero para que a la x nuestra función fx va a ser a la x y entonces si aplicamos esto para la x nos va a quedar aproximadamente aproximadamente y primero tengo efe de 0 y bueno elevado a la 0 es muy fácil es lo mismo que uno entonces me quedaría 1 y después tengo efe prima evaluado en 0 pero la x es una función muy curiosa vamos a recordarlo aquí sí efe x es igual a la x entonces cuánto vale f prima de x bueno lo que pasa es algo muy padre efe prima de x es lo mismo que esa misma función para esta función a la x es una de las cosas mágicas que le pasan a esta función a la x que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de esta función es exactamente igual al valor que nos da de evaluar a x en esa función y por lo tanto stevie prima de x f prima prima de x va a ser exactamente igual que a a la x de nuevo así que te tomes cuantas derivadas quieras vas a seguir obteniendo ea la x esta es una de las cosas especiales que tiene la función entonces me va a quedar la primera derivada evaluada en 0 bueno eso es a la 0 que ya vimos que es 1 por x entre 1 eso es simplemente x ya esto le voy a sumar y después tengo la segunda derivada de la x evaluada en cero bueno eso ya vimos que es simplemente 1-1 por equis cuadrada es x cuadrada entre 2 factorial bueno eso es x cuadrada esto dividido entre 2 porque 2 factorial es lo mismo que 2 por 1 y después tengo la tercera derivada de la x evaluada en 0 lo cual es 1 por x cúbica entre 3 factorial eso es lo mismo que x kubica está dividido entre 3 factorial y podemos escribir aquí 3 factorial o 3 por 2 por 1 que es lo mismo que 6 y bueno aquí le voy a poner más y sigue y sigue ahora estos son los primeros cuatro términos distintos de cero de nuestra serie de mclaren para la equis así que esto es la primera parte de este inciso de lujo pero después dice usa la serie de mclaren para la equis esto que tenemos aquí para escribir un polinomio de taylor de tercer grado para gdx igual a la equis fx alrededor de x igual a cero entonces voy a reescribir la función f de x original que es esta que tengo aquí voy a escribir los primeros términos y después pensaremos en cómo multiplicar estos dos polinomios y ya con eso al multiplicarlo tendremos que encontrar todos los términos que no tengan un exponente mayor a tercer grado porque es justo lo que nos piden un polinomio de taylor para esta head de tercer grado entonces vamos a escribir que fx 7x es aproximadamente y bueno voy a copiar los primeros términos de esta serie que tengo aquí me quedaría x menos tres medios de x cuadrada más 3x cúbica menos porque tengo más menos más menos y voy a poner que esta serie sigue y sigue y siguen porque estoy seguro de que con esto es suficiente y por qué estoy tan seguro de que con esto es suficiente bueno es que si escribimos el polinomio de taylor de tercer grado al multiplicar estos dos vamos a involucrar términos de grado mayor si seguimos apuntando términos ene efe de equis y eso nos va a dar un polinomio mayor de tercer grado y eso no es lo que queremos así que vamos a hacerlo lo que quiero es tomarme y a la equis que multiplica a de x esto es lo que quiero y bueno esto va a ser aproximadamente y vamos a multiplicar este polinomio infinito por este otro polinomio infinito lo cual en un principio es un poco intimidante pero también podemos multiplicar cada uno de estos términos por cada uno de estos términos es decir cuando multiplicamos dos polinomios esencialmente es lo que haces es tomarte la propiedad distributiva en repetidas ocasiones entonces si tomas este de aquí y lo multiplicas por este y después por este y después por este y después por este observa que estamos distribuyendo a este por cada uno de los términos que tenemos acá arriba y ahora ten cuidado sólo nos vamos a fijar en los términos que nos interesan es decir los que tienen un grado menor o igual a 3 bien pues empecemos x por 1 es lo mismo que x después me quedan x por x es x cuadrada después tengo x x x cuadrada entre 2 bueno eso es lo mismo que x cúbica entre 2 y aquí voy a parar porque observa si multiplicas x x x pública entre 6 eso me va a dar algo de cuarto grado y no es lo que queremos verdad queremos un polinomio de tercer grado entonces hasta ahorita tengo x mas x cuadrada más x kubica entre 2 y ahora vamos a distribuir la multiplicación de este que tengo aquí por bueno por los términos que tengo acá arriba entonces se multiplicó este por 1 me va a quedar menos 3 medios de x cuadrada lo voy a poner acá abajo menos 3 medios de x cuadrada y bueno esto para que pueda sumar fácilmente al finalizar esta multiplicación y después tengo menos tres medios de x cuadrada por x eso es lo mismo que menos tres medios de x cúbica y de nuevo voy a parar ahí porque voy a parar ahí porque se multiplicó estos dos me va a dar algo de cuarto grado y recuerda eso no es lo que queremos voy a bajar un poco la pantalla para seguir y terminar este problema y ahora lo que voy a hacer es tomarme a este que tengo aquí y multiplicarlo por los términos que tengo acá arriba y primero tengo 3 x cúbica que multiplica a 1 bueno eso es lo mismo que 3x cúbica lo voy a poner acá abajo con todas las equis cúbicas y después tengo 3x kubica por equis cuidado eso me va a dar algo de cuarto grado y no es lo que queremos y después me daría algo de quinto grado de sexto grado y en definitiva no es lo que queremos entonces basta hasta aquí vamos a sumar estos términos que tengo aquí estas son todas las piezas que nos van a dar el resultado que estamos buscando este polinomio de taylor de tercer grado para de x así que vamos a sumar cada uno de estos que tengo aquí para ver qué obtengo de resultado final vamos a sumar estos y voy a obtener a x y después tengo x cuadrada menos 3 medios de x cuadrada bueno eso es menos un medio de x cuadrada muy bien y después tengo x kubica entre 2 menos tres medios de x cúbica bueno esto es lo mismo que menos uno un medio menos un entero y un medio es lo mismo que menos uno más 3x kubica es lo mismo que 2x cúbica y ya está esta es mi respuesta entonces podemos decir que a la x que multiplica a efe de x esto va a ser aproximadamente porque bueno solamente me voy a tomar los términos de grado menor o igual a 3 y me va a quedar x - 1 medium de x cuadrada y a esto le sumamos 2x cúbica bueno esta es una pequeña intuición de cómo multiplicar un polinomio infinito por otro con la restricción de obtener uno de tercer grado y tal vez todo esto parezca un poco enredado pero puedes ver que usamos un poco de cálculo y usamos un montón de álgebra usamos más álgebra que lo que usamos de cálculo y justo así fue como obtuvimos este que es nuestro resultado este de aquí solo distribuyendo una multiplicación de un polinomio por un polinomio aunque hayan sido polinomios de un número infinito de eternos al principio pensé oh esto está muy difícil cómo puedo multiplicar polinomios infinitos pero la clave es que solo teníamos que preocuparnos por este polinomio de tercer grado