Linealidad local

supongamos que deseamos obtener un valor aproximado de la raíz cuadrada de 4.36 queremos obtener un valor aproximado de esto y no tenemos una calculadora a la mano como hacemos esto bien una manera es sabemos que la raíz cuadrada de 4 es 2 la raíz cuadrada principal de 4 es igual a 2 así es que la raíz cuadrada de 4.36 va a ser ligeramente mayor a 2 pero cómo le hacemos para precisar eso eso es lo que te voy a enseñar en este vídeo un método para aproximar una función cerca de un valor que es conocido de que estoy hablando bien supongamos que tenemos la función que tenemos la función fx igual a la raíz cuadrada de x que por supuesto es igual a x elevada a la un medio sabemos cuánto es f 2 sabemos que f 2 ese perdón no es efe de 2 es efe de 4 sabemos que f de 4 es igual a 2 principal de 4 es igual a 2 y lo que queremos aproximar lo que queremos calcular es el valor de f en 4.36 esta es otra manera de plantear exactamente la misma pregunta con la que iniciamos el vídeo visualicemos la función construyamos nuestros ejes aquí tenemos el eje y este es el eje y y aquí tenemos lg x y voy a hacer la gráfica de igual a fx la gráfica de ye igual a fx es más o menos así no está mal no está mal mi gráfica esta es la gráfica de ye igual a fx sabemos que f de 4 es igual a 2 efe de 4 más o menos por aquí tenemos 4 esto es igual a 2 no lo hice a escala este sería 2 y lo que queremos aproximar es el valor de f en 4.36 y aquí tenemos 4.36 más o menos efe de 4.36 sería más o menos por aquí este es el valor que queremos aproximar efe de 4.36 insisto insisto no tenemos una calculadora la mano entonces como hacemos esto usando lo que ya sabemos de la derivada que tal si calculamos la ecuación de la recta tangente a este punto que tenemos aquí la ecuación de la recta tangente en x igual a 4 y usamos esa línea lización para aproximar localmente para aproximar valores cercanos a ese punto esta técnica se llama lineal y estación local lo que estoy diciendo es calculemos la ecuación de esta recta llamémosle l después usamos esa recta es decir evaluamos l en 4.36 lo cual esperamos que sea más fácil de evaluar que esto que tenemos aquí y como hacemos esto una manera de hacerlo y obviamente hay varias maneras de encontrar la ecuación de una recta una manera va a ser entonces considerar que l de x l de x va a ser igual a efe de 4 va a ser igual a efe de 4 que es 2 más la pendiente la pendiente de la recta tangente cuando x vale 4 que por supuesto es f prima evaluado en 4 es la pendiente de esta recta de l de x efe prima de 4 déjame escribir eso aquí esta de aquí es la pendiente en x igual a 4 la pendiente de esta recta tangente así es que el valor de cualquier otro punto va a ser f de 4 + la pendiente que multiplica a qué tan lejos se encuentre ese punto de 4 así es que va a ser por x menos 4 veamos si esto hace sentido si sustituimos 4.36 aquí si sustituimos 4.36 de hecho déjame hacer un acercamiento a la gráfica para que nos demos cuenta que está sucediendo así es que si este si este es un acercamiento y estoy haciendo un acercamiento de esta región que tenemos aquí así es que este es el punto 4 efe de 4 y vamos a graficar l de x vamos a graficar el dx esta es el dx y digamos que este punto de aquí digamos que este punto de aquí es 4.36 efe de 4.36 y ese valor de f lo vamos a aproximar a través de la recta a través de l es decir lo vamos a aproximar con el valor que obtenemos a través de la recta donde este punto va a ser este punto va a ser 4.36 como el de 4.36 que se está funciona evaluada cuando x es igual a 4.36 y cuánto es esto veámoslo hagamos el cálculo esto es efe de 4 efe de 4 que es 2 más efe prima de 4 la pendiente de la recta que es f prima de 4 que multiplica a 4.36 menos 4 4.36 menos 4 esto es 0.36 y eso hace sentido en piezas en 2 y obtienes que tu cambio en x es 0.36 así es que tu cambio en que va a ser la pendiente que multiplica al cambio en x y eso te lleva a ese punto calculemos entonces calculemos entonces cuál es el valor que corresponde a esta expresión para esto necesitamos calcular f prima de 4 vayamos un poco arriba pero quiero dejar esta visualización aquí tenemos entonces que f prima de x es igual a un medio por x elevada a la menos un medio y aquí estoy usando la regla de potencias así que f prima de 4 es igual a un medio que multiplica a 4 elevado a la menos un medio y esto es igual a un medio que multiplica a un medio 4 al a un medio es 24 a la menos un medio es un medio y un medio por un medio es igual a un cuarto así es que el de 4.36 y aquí nos merecemos unas fanfarrias l de 4.36 es igual a efe de 4 que es déjame reescribir todo efe de 4 más más voy a usar el mismo amarillo que tenemos acá arriba efe de 4 más efe prima de 4 que multiplica a que multiplica a 4.36 4.36 deja de poner lo mejor todo con este color con este nuevo color voy a poner el 4.36 4.36 menos menos cuatro menos cuatro de hecho voy a marcar los cuatros con el mismo color para que podamos identificarlos visualmente y esto que es igual efe de 4 ya vimos que es 2 efe prima de 4 también ya calculamos que es igual a un cuarto está aquí es igual a un cuarto 4.36 menos 4 es igual a 0.36 y esto es igual a 2 más un cuarto por 0.36 esto es 0.09 y esto esto es igual a 2.09 esa es nuestra aproximación y de acuerdo a como lo dibujamos aquí esta aproximación es un valor que es ligeramente mayor a la raíz cuadrada de 4.36 esto lo podemos escribir acá arriba esto es aproximadamente igual a no mejor vamos a ponerlo de la siguiente manera voy a escribirlo aquí abajo la raíz cuadrada de 4.36 que es igual a efe de 4.36 es aproximadamente igual a 2.09 ahora supongamos que apareció en esta calculadora y nos da curiosidad saber qué tan buena es nuestra aproximación aparece entonces nuestra calculadora y queremos obtener el valor de la raíz cuadrada de 4.36 y obtenemos que es igual a 2.0 88 la aproximación que obtuvimos coincide con el valor real a nivel de centésimas es una muy buena aproximación y como pudimos vislumbrar aquí a partir de nuestra gráfica nuestra aproximación es de hecho ligeramente mayor que el valor real