Optimización: ganancia

supongamos que estamos en una fábrica de zapatos mira esta de acá es la fábrica y estos son los zapatos y queremos encontrar el mejor número de miles de pares de zapatos que queremos hacer para optimizar nuestras ganancias entonces déjame ponerle por acá que x es igual al número de miles miles de pares de zapatos de pares de zapatos de zapatos producidos producidos y está muy bien entonces tenemos que ver cuál es el número óptimo para producir entonces al producir cierta cantidad de zapatos tenemos un gasto y tenemos un ingreso y imaginemos que está dado por la siguiente fórmula abarth empezamos con el ingreso vamos a ponerle r al ingreso del inglés revenue porque ponerle y es como raro entonces le ponemos r y supongamos que cada par lo vendemos a 10 pesos entonces para que no nos quede muy fe esta función vamos a ponerla también en miles de pesos miles de pesos de pesos pesos y de esta forma como cada par se vende a 10 pesos aquí hay que ponerle 10 x entonces si vendemos por ejemplo da más mil zapatos entonces aquí tendríamos 10.000 bueno mil pares de zapatos aquí teníamos 10 mil pesos esto está en miles de pesos muy bien entonces esto quiere decir que bueno si aquí poner la x hay compradores que están dispuestos a comprarte todos los padres que produzcas bueno vamos a pasar ahora al costo el costo es un poquito más delicado porque pues no sé o sea tienes que considerar a los trabajadores y si produces muchos zapatos entonces para cobrar para das pero no sólo proporcionalmente sino mucho más la máquina también te desgasta éste tienes que contratar a los analistas para que te den el precio y supongamos que ya después de un rato le piensan analizan los datos y se dan cuenta que el costo de producir x miles de pares de zapatos es de x al cubo menos 6 x al cuadrado más 15 x miras y aquí lo pones x igual a 0 aquí te queda 0 de ingresos x igual a 0 acá todo esto se hace cero también te queda cero de costo no se ve razonable y estoy acá también estén miles miles de pesos vale ok entonces si quisiéramos encontrar la ganancia únicamente considerando estos datos podemos que esto es lo único que nos importa pues lo que tendríamos que hacer es tomar el ingreso y restarle lo que nos costó bueno entonces vamos a hacer eso vamos a poner el eje de ganancia y entonces gdx va a ser igual a 10 x lo que obtenemos 10 x menos vamos a ponerle menos menos el costo si el costo entonces sería menos x al cubo menos x al cubo más 6x cuadrada menos 15 x si verdad sí sí restó 6x cuadrada y luego le pongo un menos se hace más menos 15 x menos 15 x ok entonces simplificando tantito esto nos queda igual a igual vamos a poner este primero - x al cubo luego el cuadrado más 6x cuadrada y luego 10 x 15 x es menos 5x excelente entonces para encontrar pues el máximo de ganancia que podemos obtener tenemos que encontrar los puntos críticos de esta función es decir tenemos que derivar y ver donde no se define la derivada o bien donde la derivada es igual a cero entonces estoy acá es g de x y déjame pasar de este lado para platicar de la derivada para entonces vamos a ponerle por acá g prima de x prima de x entonces derivando este 3 baja nos queda menos 3x cuadrada luego nos queda el mal 2 baja más 12 x y luego nos queda menos 5 vale esta de aquí es la derivada esta de aquí siempre se vale verdad o sea no hay ningún valor de x que nos divida entre 0 o no hay ningún conflicto en ese sentido entonces esto siempre está definido así para poder optimizar esta g lo que necesitamos es ver dónde esta función se hace igual a cero entonces vamos a encontrar los valores de x para los cuales menos 3x cuadrada + 12 x menos 5 es igual a 0 cómo le hacemos para determinar estos pues mira es una ecuación cuadrática afortunadamente sabemos resolverlas verdad con la fórmula general entonces déjame poner aquí abajo la fórmula general vamos a ponerla con este color azul clarito entonces tenemos que x x es igual a menos b - 12 + menos raíz cuadrada va a poner así raíz cuadrada de b cuadrada 144 menos 4 x a porsche haber es menos -4 ok menos por menos es más por menos es menos entonces es menos 4 por 3 por 5 / todo esto dividido entre dos veces entre menos seis menos seis muy bien entonces estos son los valores déjame simplificar un poquito esto de aquí es igual a mira este menos con este menos se hace más y este menos con este más menos pues se convierte en más menos respectivamente entonces voy a ponerlo como 12 más menos raíz de aquí de 144 menos 4 por 33 12 12 por 5 de 60 144 menos 60 es 84 dividido entre entre 6 otra vez lo de menos fue que esté menos se fue con este menos y este más menos de todas formas quedan más menos al dividirse entre menos bueno entonces tenemos estos números y acá va ahora estos son dos valores verdades más déjame o saber ver cuáles son para tener un poco más de ideas concretas pues vamos a sacar la calculadora y aprendemos la aprendemos y entonces queda 12 más raíz de 84 entre 6 12 más second raíz de 84 ok creo que aquí sería bueno ponerle un paréntesis vamos a enfrentar un paréntesis y dividimos entre 6 enter entonces es 3.52 75 como está en mí les voy a agarrarme tres decimales va entonces es 3.5 528 3.528 3.528 entonces x un valor es 3.5 528 esto es cuando le ponemos el signo + y la otra posibilidad para x es que x sea con el signo menos déjame agarrarla la misma entrada no es lo que quería la misma entrada entonces es 12 - menos raíz de 84 en 36 enter entonces es punto 4 724 va entonces vamos a ponerle punto 47 25 porque estamos redondeando hacia arriba va punto 47 25 entonces es 0.47 25 muy bien ya tenemos dos posibilidades estos dos son los puntos críticos pero nosotros queremos maximizar la ganancia entonces necesitamos ver si estos puntos nos dan un máximo a ciertos puntos nos dan un mínimo para eso vamos a pasar ahora al criterio de la segunda derivada entonces para eso voy a poner la segunda derivada en este color azul la segunda derivada en evaluar en x es igual a ésta la primera derivada es menos 3x cuadrada más 2x menos cinco derivando otra vez nos queda menos 6x menos 6x más 12 sale estar acá es la segunda derivada entonces qué sucede si le ponemos x igual a 3.528 y 0.47 25 se podría sacar la calculadora pero para no hacerlo podemos estimar más o menos entonces cuando x es igual a 3.5 28 que obtenemos pues es mira aquí es menos 6 x pues más o menos 3.5 6 por 5 es 36 por 318 con 3 que llevamos es 21 entonces esto es como menos 21 más o menos y esto de acá le estamos sumando 12 entonces qué sucede ahora es negativo entonces aquí para x igual a 3.5 28 déjame ponerlo acá para para que no quede muy amontonado aquí abajo entonces para x igual a 3.5 28 obtenemos que la segunda derivada es menor o igual que 0 esto está bueno verdad esto nos dice que hay un máximo máximo porque gráficamente qué quiere decir esto de acá y esto de acá quiere decir que tenemos o sea si la derivada es negativa entonces quiere la segunda deriva es negativa quiere decir que la función se ve así verdad parece como una volteada hacia abajo entonces la derivada la primera derivada empieza muy grande empieza a bajar ya bajar y a bajar porque la segunda derivar es negativa y entonces en efecto el punto crítico es un máximo eso está bueno vamos a ver qué pasa con el otro punto verdad a lo mejor también es máximo y tengamos que compararlos qué pasa cuando x es igual a 0.4 725 pues aquí es como 0.5 y aquí es menos 6 por 0.56 como menos tres menos tres más doce pues es algo positivo es como 9 verdad pues aquí la segunda derivada es mayor o igual que 0 ahora tenemos una función cóncava hacia abajo perdón cóncava hacia arriba estará cóncava hacia abajo sabemos que una cóncava hacia arriba más o menos algo de este estilo y entonces ahora qué sucede con las pendientes las pendientes encías empiezan siendo negativas pero van creciendo van creciendo aquí en el punto crítico son iguales a cero y luego crecen más entonces aquí tenemos un mínimo de jale como que es un mínimo y bueno a esto en particular nos dice que no nos conviene producir esta cantidad de miles de zapatos verdad cuando nos conviene producir esto cuando estén zapatos si estos son miles son cuatrocientos sesenta y setenta y dos pares de zapatos esto definitivamente no nos compete hacer por que minimizaría nuestras ganancias y eso está feo verdad esto es más bien lo que queremos hacer es adaptarse este valor acá qué es el valor que nos da el valor máximo y el valor máximo y bueno una vez que lo evaluamos entonces tenemos que hacer esta cantidad de pares de zapatos es la cantidad de zapatos que tenemos que producir y finalmente lo único que tenemos que hacer para ya determinar pues cuánto vamos a una verdad es la cantidad de zapatos ahora queremos ver cuánto vamos a ganar pues es evaluar la función g la función de x en este valor bueno déjame hacer eso entonces vamos a ponerlo por acá vamos a traerlo de este lado déjame ponerle en color un color bonito para que se vea que es el máximo naranja entonces vamos a evaluar g de 3.528 la ganancia para cuando producimos 3.528 zapatos y metiéndolo a la calculadora esto nos da igual vamos a ver cuánto nos da vamos a aprender la calculadora y entonces es menos menos le pongo paréntesis 3.528 3.528 elevado al cubo ok más +6 por 3.528 3.528 elevado al cuadrado muy bien menos menos 5 por 5 por 3.5 28 menos 3.5 8 al cubo más seis veces 3.528 al cuadrado menos cinco veces 3.255 3.528 ajá excelente entonces ahora sí redoble de tambores y picamos en enter y nos queda 13 puntos 12 84 otra vez como son miles vamos a agarrar hasta el hasta el 8 entonces nos queda 13.128 esto de acá es igual a 13.128 y acordándonos que todos en miles de pesos esto nos dice que vamos a ganar 13 mil 128 pesos ya después de quitar los costos y todo eso entonces eso está muy bien ya encontramos el valor máximo y podemos ser unos productores de zapatos felices y ricos hasta la próxima