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Contenido principal
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Transcripción del video

la posición de una partícula moviéndose sobre la recta real está dada por esta función s dt es igual a dos tercios de t al cubo menos seis de cuadrada más de este parate mayor igual a cero donde t es el tiempo en segundos la partícula simplemente se está moviendo en una sola dimensión en una línea recta va ahí viene la partícula se mueve tanto a la derecha como a la izquierda durante los primeros seis segundos cuál es la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo cero menor o igual a t menor o igual a seis bien es importante notar que nos están preguntando por la distancia total que recorre la partícula recordemos que la distancia total es como sigue si la partícula sale de este punto y se mueve digamos tres unidades a la derecha y luego se mueve cuatro unidades a la izquierda tenemos por acá que podría denotar como menos 4 entonces la partícula terminaría así asumo que esto es el cero en el punto menos 1 entonces la distancia total que recorrió es 3 unidades hacia acá y luego 4 unidades hacia acá o sea que la distancia total que recorrió la partícula sería 7 a pesar de que la distancia neta que se movía la partícula solo es del -1 al 0 y esa distancia es de menos 1 así que voy a considerar la distancia sin signo ok entonces lo primero que sería importante es encontrar en qué puntos la partícula se está moviendo a la derecha y en qué punto se está moviendo hacia la izquierda para hacer eso tenemos que observar el comportamiento de la función velocidad la velocidad de la partícula va a indicarnos en qué dirección se mueve si la velocidad es positiva la partícula se está moviendo a la derecha y si la velocidad es negativa la partícula se está moviendo hacia la izquierda bueno entonces a partir de esta ecuación que tenemos de ese te puedo calcular la velocidad de la partícula ustedes ya saben muy bien que la velocidad una particular dada por una ecuación es simplemente la derivada de esta función de acá la derivada de la función de posición sería dos tercios de la derivada de t al cubo que sería 3t por lo tanto sería 2 t cuadrada menos 12 t - 12 t más 10 es la derivada ahora noten que como hace una ecuación cuadrática yo sé que es una parábola y como el coeficiente cuadra tico este 2 es un número positivo sé que es una parábola que abre hacia arriba por lo tanto mi parábola se debe de ver algo así que bueno no sé si si este es el caso no pero algo así vamos a tratar de graficar la con más cuidado y bueno mientras la velocidad esté por encima del eje x entonces la velocidad es positiva en el momento en el que baja es decir en este caso aquí la velocidad es negativa por lo tanto quiero encontrar esos puntos pero antes que nada voy a encontrar las raíces de esta parábola vamos a ver si igual no está ecuación a cero si digo que 2 t al cuadrado menos 12 t más 10 es igual a cero entonces algo que puedo hacer es dividir todo entre dos para obtener t al cuadrado menos seis más 5 es igual a cero y puedo factorizar esto como t menos 5 x menos 1 ya saben estoy buscando dos números cuyo producto hacia 5 y cuya suma sea menos 6 esto tiene que ser igual a cero por lo tanto alguno de estos factores se tiene que anular y eso me dice que es igual a menos es igual a 5 perdón o t es igual a 1 en cualquiera de estos dos puntos la ecuación de la velocidad se anula entonces si yo trazará mi gráficas y pusiera aquí mi eje digamos btt y aquí pusiera mi eje t entonces yo sé que en los puntos 1 y 5 del eje de la parábola corta al eje entonces 1 2 3 4 5 vamos a poner aquí también el 6 bueno entonces la parábola pasa por este punto y este putt perdón no ese punto 1 2 3 4 5 por ese punto y este punto aquí y como es una parábola que se abre hacia arriba su vértice tiene que estar justo sobre esta línea que está dividiendo a la mitad de estos dos puntos entonces la parábola se ve algo así bueno el chiste es que el vértice esté justo debajo de el 3 pero bueno también puedo encontrar cuánto vale ese punto porque en ese punto si pongo t igual a 0 en esta ecuación simplemente me queda 10 por lo tanto ese punto de y el 10 este punto aquí está igual a 1 este punto está igual a 5 y más o menos así se ve la gráfica de la velocidad de modo que la partícula se mueve hacia la derecha cuando está sobre este segmento del 0 al 1 y del 5 al 6 en estos dos cachos de la parábola la velocidad es positiva y la velocidad es negativa precisamente cuando la parábola está por debajo del eje del eje x que es precisamente aquí entre 1 y 5 así que vamos a hacer una gráfica con las posiciones de la partícula vamos a poner aquí el instante t y aquí la posición de la partícula st ahora es importante notar que ese dt no es lo mismo que vedette ests está acá esa es la posición y esa es la que realmente me importa entonces en cero la partícula está en cero s de cero es simplemente cero todo se anula en uno la partícula está en dos tercios menos seis más diez menos 610 es 44 y dos tercios cuatro con dos tercios luego también me interesa la partícula en 5 el segundo 5 y en ese instante la partícula está en dos tercios por 5 al cubo 5 al qb 125 por 2 es 250 250 entre 3 - 6 por 5 al 4 225 6 por 25 cuánto es 125 150 150 más 10 por 5 de 50 entonces esto simplemente es menos 150 más 50 es menos 100 253 menos 100 tres porciones 350 3 y 2 y 50 tercios cuánto es 16 con 16 x 36 48 me sobran dos tercios 16 con dos tercios bien y en 6 en donde está la partícula en el instante 6 pues ahora la partícula va a estar en uf este se iba a estar feo dos tercios por 6 al cubo menos 6 por 6 al cuadrado que sería menos 6 al cubo de nuevo más 10 por 6 y esto cuánto es pues puedo aquí factorizar esto como 6 al cubo por dos tercios menos 1 + 60 esto es lo mismo que me muevo tantito hacia abajo dos tercios menos uno sería menos un tercio seis al cubo x menos un tercio sería lo mismo que se hizo al cuadrado por seis entre tres por menos seis entre tres más sesenta y esto es lo mismo que que 36 x menos 2 + 60 36 x menos 2 es menos 72 más 60 y eso simplemente es menos 12 - 12 bien entonces como decía estas son las posiciones de la partícula y por lo tanto la partícula recorre cuanto pues para pasar de 0 a 4 con dos tercios recorre cuatro con dos tercios obviamente entonces recorre cuatro con dos tercios unidades luego para pasar de 24 con dos tercios a 16 con dos tercios siento que aquí me como un signo si en efecto aquí me comí un signo porque menos 150 más 50 es menos 100 y aquí es 250 menos 300 entre 3 menos 50 entre 3 así que esto en realidad es menos 16 con dos tercios ahora cuánto se mueve la partícula para ello de cuatro con dos tercios a 16 con dos tercios pues se mueve tiene que recorrer cuatro con dos tercios para regresar al origen y luego dieciséis con dos tercios para regresar este punto entonces tiene cuatro con dos tercios más 16 con dos tercios eso sería veinte con cuatro tercios o 21 con un tercio 21 con un tercio y ahora para pasar de este punto a este ahora la partícula de nuevo se está moviendo a la derecha tiene que tener un cambio de cuatro con dos tercios de nuevo cuatro con dos tercios de nuevo bien entonces cuando es todo esto si lo sumo tengo dos tercias más dos tercios serían cuatro tercios más un tercio serían cinco tercios cinco tercios de primero en otro cinco tercios y ahora voy a sumar todo lo que no son fracciones 44 28 más 21 es 29 29 más 5 tercios y 29 más 5 tercios es simplemente cinco tercios es uno con dos tercios por lo tanto esto es lo mismo que treinta con dos tercios de unidades esa es la distancia total que recorrió la partícula