Problemas de movimiento: una partícula que acelera

imaginemos que tenemos una partícula que se está moviendo a lo largo de una recta numérica por aquí tengo la recta numérica en la que se mueve la partícula digamos que la partícula empieza aquí en el cero y se va a la izquierda luego la derecha luego regresa no se hace toda clase de locuras y de hecho nos dicen que la posición de la partícula como una función del tiempo t en segundos está dada por la función s dt t al cubo menos 6 de cuadrada más 9 t esa es la función que nos da la posición de la partícula en cualquier instante sale de cero y no sé hacia dónde se mueva pero bueno vamos a suponer también que nos vamos a restringir a tiempos positivos así que voy a pedir que te sea mayor o igual a cero bueno y me preguntan cuando la partícula va más rápido cuando cuándo va más rápido la partícula más rápido ahora observen que esta es una pregunta totalmente distinta a cuando la partícula tiene más velocidad porque la rapidez no tome en cuenta la dirección y la velocidad sí es decir la velocidad si voy hacia la derecha es positiva pero si voy hacia la izquierda es negativa en cambio la rapidez no tome en cuenta esa dirección así que tendría dos escenarios si estoy yendo hacia la derecha si estoy yendo hacia la derecha lo cual significaría que mi velocidad vedete es mayor que cero entonces para ir más rápido mi aceleración también tiene que ser positiva mi aceleración dt también tiene que ser positiva de ese modo cada vez voy más y más rápido pero qué pasa si por el contrario voy hacia la izquierda si me muevo hacia la izquierda entonces mi velocidad de dt tiene que ser negativa que me estoy moviendo hacia el lado negativo de la recta numérica pero para ir más rápido que significa pues significa que mi velocidad se tiene por así decirlo que hacer aún más negativa por lo tanto la aceleración la aceleración de la partícula también tiene que ser menor que cero entonces esas son las dos situaciones que vamos a analizar ahora cómo podemos hacer eso pues recuerden que la velocidad de una partícula es el cambio entre su posición y el tiempo la tasa de cambio instantánea entre la posición que es ese y el tiempo así que la velocidad en cada instante está dada por d s / de t el cambio instantáneo en la posición dividido entre el cambio instantáneo en el tiempo y esto que es pues esto no es otra cosa más que por un lado esto es la velocidad de dt y por el otro lado esto es simplemente la derivada de s con respecto del tiempo s prima de t así que para esta función de posición esta de aquí cuál es la velocidad pues la velocidad de esa partícula sería la derivada de esto que sería t al cubo su derivada es bueno vamos a ponerle verde es igual a la deriva de al cubo que sería 3 de cuadrada menos la derivada de 6 t cuadrada que sería menos 12 t más la derivada en nombre de que sería 9 así que es la velocidad vamos a tratar de graficar la para entender qué está sucediendo primero que nada noten que en el 0 b de 0 es igual a 9 por lo tanto es la intersección con nuestro eje vertical y para encontrar las intersecciones con el eje horizontal el eje de el tiempo vamos a igualar esto a 0 vamos a decir que 3 t cuadrada menos 12 de más 9 es igual a cero y si hago esto entonces puedo dividir todo entre 3 y escribirlo como de cuadrada menos 2 entre 3 a 4 menos 49 entre 3 es a 3 t cuadrada menos cuatro temas 3 es igual a cero y esto es muy fácil de factorizar porque lo que quiero hacer es encontrar dos números cuyo producto hacia 3 positivo y cuya suma sea menos 4 entonces serían menos tres y menos uno así que te menos 3 y te menos uno debe de ser igual pero para que este producto hacia cero algunos de los factores tiene que ser cero por lo tanto usted es igual a tres y t es igual a uno más bien usted es igual a uno me lo escribo más bonito es igual a 1 muy bien y esas son las intersecciones con el eje horizontal ahora sí vamos a hacer la gráfica vamos a tratar de hacer la gráfica vamos a ver es que aquí pongo mi eje vertical que va a ser el eje de mi velocidad verde t y por acá pongo el eje horizontal que va a ser el eje de el tiempo wiesel choco un poco pero bueno vamos a poner aquí está el 1 2 y el 3 bien entonces yo sé que la partícula cuando t es igual a 0 tiene velocidad 9 déjenme esto no va a estar escala así que el 9 de estar por aquí en este eje no va a estar cada escala con relación este eje bueno entonces en cero la partícula está aquí en uno la partícula tiene velocidad cero y / es la partícula también tiene velocidad cero así que como el coeficiente de t cuadrada estrés yo sé que esta ecuación describe una parábola que abre hacia arriba por lo tanto el vértice tiene que estar aquí en dos en dos y que qué velocidad tiene la partícula en dos segundos después de que inició su recorrido pues ve de dos sería lo mismo que tres por dos al cuadrado que sería tres por cuatro que es 12 menos 12 por 2 que sería menos 24 más 9 y cuánto es esto 12 menos 24 es menos 12 más 9 - 12 9 es menos 3 así que la partícula estará por aquí más o menos en ese instante de modo que la gráfica en la velocidad se ve algo así bueno algo así es la gráfica de la velocidad de la partícula bueno cuando va más rápido la partícula pues recordemos que la aceleración a de t que sería la aceleración es el cambio instantáneo de la velocidad con respecto al tiempo así que es debe entre dt pero qué es esto pues esto es la derivada de la velocidad de la función de velocidad respecto al tiempo o lo que es lo mismo la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo bueno vamos a hacer primero este caso donde tiene la partícula velocidad negativa pues tiene velocidad negativa sobre todo todo este intervalo de aquí del 1 al 3 ahí tiene velocidad negativa y donde su aceleración también es negativa pues para que la aceleración sea negativa entonces tiene que ser en la parte en donde la función es decreciente porque la aceleración es la derivada de la velocidad así que donde tiene pendiente negativa esta curva donde su tangente tiene pendiente negativa pues donde es decreciente y donde es decreciente y además negativa pues solo sobre este intervalo de aquí este intervalo de aquí entre el 1 y el 2 y la pendiente de la tangente es negativa y la función de velocidad también es negativa por lo tanto la función está yendo más rápido la partícula va más rápido con estas condiciones cuando uno es menor que t que es menor que 2 sobre este cachito de aquí ahora este lado cuando la partícula tiene velocidad positiva pues tiene velocidad positiva sobre este lado este lado hasta aquí y luego por acá y donde además la aceleración es positiva pues donde esta función es creciente pues de este lado de este lado de aquí es creciente por lo tanto esta condición se va a cumplir cuando la partícula esté sobre este lado de la parábola más bien cuando la velocidad esté sobre este lado de la parábola y eso se da cuando t es mayor que 3 entonces cuando va más rápido la partícula cuando uno es menor que t y es menor que 2 entre el segundo 1 y el segundo 2 ahí va más rápido hacia la izquierda también cuando t es mayor que 3 y ahí va más rápido hacia la derecha