Ejemplo resuelto: longitud de arco de curvas polares

lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar la longitud de arco de lo que podríamos llamar un pétalo de la gráfica de r igual a 4 seno de 2 teta quiero encontrar entonces la longitud de esta porción de la curva que está dibujada en rojo esto lo voy a hacer en dos partes en la primera parte voy a establecer la integral definida para calcular dicha longitud de arco y en la segunda parte voy a evaluar la integral con una calculadora con lo cual vamos a obtener de manera inmediata el valor de dicha integral así es que manos a la obra te invito a que le pongas pausa al vídeo y dado que ya conocemos la fórmula para la longitud de arco en coordenadas polares intenta aplicarla para calcular esta longitud supongo que ya lo intentaste así es que vamos a recordar la fórmula la longitud de arco va a estar dada por la integral definida desde el ángulo inicial hasta el ángulo final desde el ángulo alfa hasta el ángulo beta la raíz de la derivada de la función la raíz de la derivada de la función elevada al cuadrado más la función r de teta elevada al cuadrado beteta veamos entonces cuáles son r prima de teta y r de teta déjame ubicarlo entonces por colores r prima de teta r prima mejor vamos a empezar con el re de teta entonces r de teta en rd teta es igual a 4 seno de dos de tal 413 se receta y es re prima de teta de prima de teta es entonces la derivada de dos tetas 2 x 4 8 y la elevada de seno es coseno coseno de dos tetas así es que ahora podemos escribir la integral definida para calcular la longitud de arco como l es igual a la integral definida cuál es el límite inferior bueno el pétalo que nos interesa inicia cuando ted es igual a 0 radiales cuando tet es igual a cero radiales eres igual a cero es este punto que tenemos aquí así es que el ángulo inicia en cero radiales y se va a ir incrementando hasta llegar a y sobre dos cuando te des igual a pi sobre 223 igual a seno de pies igual a cero y regresamos a este punto así es que el integral va de cero y sobre 2x sobre dos la dian es y vamos a integrar la raíz cuadrada es re prima de teta al cuadrado que es 8 coseno de dos tetas al cuadrado esto es entonces 64 deje ponerlo con el mismo color azul esto es entonces 64 coseno cuadrado de 2 teta más r de teta elevado al cuadrado que es 40 2 teta elevado al cuadrado esto es 16 seno cuadrado de 2 teta y por supuesto que cambia extender esto aquí de teta y aquí podrías intentar evaluar esto analíticamente no es tan inmediato yo voy a utilizar una calculadora porque en este caso lo más práctico y es una herramienta que tenemos que aprender a utilizar así es que aquí voy a la opción del integral definida presiono segundo cálculos en mitad y 85 y ahí elijo la opción de integral definida déjame expresar entonces el integrando la raíz cuadrada de 64 x coseno de dos tetas al cuadrado así es que jose no voy a usar x pues en mi calculadora x es una variable más fácil de indicar que te está entonces coseno de 2x deja de poner bien los paréntesis para que tome la función coseno de manera adecuada coseno de 2x elevado al cuadrado aquí cerramos otro paréntesis y elevamos al cuadrado ahí ya tenemos la primera parte más + 16 que multiplica que multiplica al seno al seno abro paréntesis de 2x cierro paréntesis cierro paréntesis elevó al cuadrado de hecho yo no sé si aquí atrás lo toma directamente la calculadora mejor a poner el signo x para indicar 64 por coseno de 2x elevado al cuadrado más 16 por el seno de 2x elevado al cuadrado ahora voy al final y aquí esto voy tengo que cerrar la raíz y aquí ya no necesitamos cerrar el argumento de la raíz cuadrada con este paréntesis ya tenemos bien el integrando ahora como la variable con respecto a la cual estoy integrando que es x cada que aparece teta aquí le estoy sustituyendo con x y queremos evaluar la integral entre x igual a 0 y x igual a p sobre dos y ahora sí espero que no haya cometido ningún error a la hora de teclear lo y así vamos a obtener está tomando su tiempo pensando espero que no que no se haya trabado no ahí está obtenemos redondeando a milésimas 9.688 así es que esto es aproximadamente igual a 9.688 pero tratemos de obtener alguna aproximación del valor para ver si está correcto el pétalo se extiende hasta un radio de 4 por lo que si tan solo fuéramos de ida y de vuelta tendríamos una longitud de arco de 8 pero tenemos lo que se abre el pétalo así es que el valor que obtuvimos de 9.688 si parece adecuado y así hemos concluido