Ejemplo resuelto: área acotada por una cardioide

esta curva que tenemos aquí marcada en azul es la gráfica de r igual a 1 - coseno de teta por supuesto estamos en coordenadas polares en este vídeo estamos interesados en calcular el área dentro de esta región te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta bien hagámoslo juntos ya obtuvimos de manera intuitiva la fórmula que nos permite calcular el área dentro de una gráfica polar la cual va a estar dada por un medio de la integral definida desde el ángulo theta inicial hasta el ángulo theta final desde alza hasta beta de r de teta al cuadrado de teta así es que básicamente tenemos que aplicar esto para esta función que tenemos aquí así es que en este caso el área va a ser igual a un medio la integral definida y cuál es nuestra alfa y cuál es nuestra meta bien estamos yendo desde que teta es igual a cero cuando tet es igual a cero esto es 11 igual a cero estamos en este punto y le damos toda la vuelta hasta que teta es igual a 2 y radiales esto es 1 - coche 9 2p 12 nuevos pies 11 menos uno es igual a cero regresamos a este punto así es que el integral va desde que te está igual a cero hasta que teta es igual a dos pi ahora cuales r de teta al cuadrado déjame colorear esto r de teta al cuadrado esto va a ser uno menos coseno de teta 1 - jose no detecta elevado al cuadrado y por supuesto aquí tenemos de teta de teta y ahora tan sólo tenemos que evaluar esto y nuevamente si te sientes inspirado trata de calcularlo por tu cuenta vamos por ella lo que vamos a hacer ahora es reescribir la integral esto es igual a un medio del integral de 0 a 2 pi voy a desarrollar este binomio al cuadrado es uno menos dos coseno de teta más coseno cuadrado de teta de teta de teta y aquí ya sabemos calcular la anti derivada de 1 la anti derivada de dos coseno de teta pero lo que no es obvio es cómo calcular la anti derivada de coseno cuadrado de teta aquí no se ve que haya una sustitución que nos ayude pero afortunadamente tenemos las identidades trigonométricas sabemos que coseno cuadrado de teta es igual a un medio de uno más coseno de dos tetas esto lo aprendiste en tu clase de trigonometría de no ser así ya lo estás aprendiendo ahorita y ésta definitivamente es una de las identidades trigonométricas más útiles para encontrar la integral de una gran variedad de funciones trigonométricas apliquemos esta identidad y escribamos esto de aquí como un medio que multiplica a 1 + coseno de dos teta y veamos aquí podemos hagámosla así aquí podríamos si quisiéramos no vamos a hacerlo así como está así es que esto es igual a un medio y aquí ya vamos a calcular las anti derivadas entonces es un medio que multiplica a la anti derivada de uno de teta esto es teta menos la anti derivada de dos coseno de teta la cuales dos seno de teta la derivada de seno de teta es co seno beteta y si la multiplicamos por menos 2 obtenemos menos 2 coseno de teta y luego tenemos déjame distribuir esto de aquí esto es igual a un medio más un medio coseno de dos tetas así es que esto de aquí es esto que tenemos acá tenemos que calcular la anti derivada de un medio la anti derivada de un medio que es este un medio que tenemos aquí es un medio de teta más un medio de teta y ahora tenemos que calcular la anti derivada de un medio coche 92 teta veamos la derivada de seno de dos teta es igual a 212 92 teta así es que la anti derivada de coseno de 2 y aquí podrías usar la sustitución para calcular esto si así lo deseas o lo puedes hacer mentalmente la anti herida de coseno de dos tetas es igual a un medio de 92 teta que hay que multiplicar por este un medio que tenemos aquí así es que aquí tenemos déjame mostrarte que estoy calculando la anti derivada de esto que tenemos aquí que es la anti derivada de esto que tenemos aquí que va a ser más un cuarto seno de dos tetas y aquí te invito a que cheques que efectivamente esta es la anti derivada pues el cálculo que hicimos te pudo haber confundido pero es correcto la derivada de seno de 2 32 kos en 92 teta multiplicado por un cuarto nos da un medio jose 92 teta y esto lo vamos a evaluar en 2 y 0 de entrada algo que podemos notar es que cuando evaluamos en 0 todos los términos se hacen 0 así es que la expresión se hace 0 lo cual nos facilita el cálculo pues sólo tenemos que calcular un medio por la expresión evaluada en dos pi así es que esto es igual a un medio que multiplica 2 p - seno de dos pies igual a cero así es que este término se hace cero más un medio de dos pi que es para más y más un cuarto de seno de dos por dos pies es decir seno de cuatro para el cual también es cero este término también es cero así es que ya casi terminamos esto es igual a un medio de tres pi o tres medios de pi tres medios de pi la cual es el área de la región el área dentro de la curva que por cierto se llama cardio y d