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Transcripción del video

revisemos un poco lo que hemos aprendido de cálculo diferencial supongamos que tenemos la función s que nos da en función del tiempo la posición de una partícula en una dimensión si tomamos la derivada con respecto al tiempo si tomamos la derivada de s con respecto al tiempo que obtenemos bueno obtenemos por supuesto la derivada de s con respecto al tiempo que es la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo que también se designa como la velocidad así es que esto es la velocidad que también es una función que depende del tiempo ahora si derivamos nuevamente con respecto al tiempo si derivamos con respecto al tiempo la velocidad que estaríamos de hecho tomando la segunda derivada con respecto al tiempo de la posición que es la primera derivada con respecto al tiempo de la velocidad obtendríamos entonces debe en dt que es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo esto es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo lo cual se denomina aceleración esto es la aceleración que también es una función que depende del tiempo así es que empezamos con la posición como una función del tiempo tomamos la derivada de la posición para obtener la velocidad tomamos la derivada de la velocidad para obtener la aceleración pero también podríamos ir en sentido contrario si conocemos la aceleración podríamos tomar la anti derivada de la aceleración podríamos tomar la anti derivada de esta aceleración y que obtendríamos obtendríamos bueno déjame mejor escribirlo de la siguiente manera voy a usar el símbolo de la integral indefinida así es que tomo la integral de la aceleración con respecto al tiempo y esto me va a dar una cierta expresión más una constante c es decir voy a poder determinar la forma general de la velocidad pueda determinar la velocidad más una constante que voy a poder evaluar con un valor preciso de la velocidad para cierto tiempo específico ahora si yo tomo la anti derivada de la velocidad es decir ahora integró la velocidad con respecto al tiempo íntegro la velocidad con respecto al tiempo y va a obtener lo mismo una expresión general más una constante ce que me va a determinar entonces la posición la posición s dt más cierta constante que va a poder determinar al conocer un valor preciso de la posición para un cierto tiempo habiendo revisado esto y que también hemos podido ponerlo en términos de anti derivada es decir hicimos el planteamiento para derivadas pero también llegamos a hacer un planteamiento para anti derivadas hagamos un problema específico supongamos que sabemos que la aceleración de una partícula como función del tiempo es igual a 1 es decir nuestro objeto está acelerando de manera constante a una unidad de digamos vamos a ponerlo en términos de metros y segundos así es que esto va a ser un metro por segundo cuadrado va a ser la aceleración en función del tiempo y supongamos que no sabemos una expresión para la velocidad pero sabemos la velocidad a un tiempo específico y tampoco conocemos una expresión para la posición pero sabemos la posición a un tiempo específico supongamos entonces que la velocidad a los tres segundos es de menos tres esto sería metros por segundo vamos a poner las unidades aquí esto sería entonces un metro por segundo cuadrado sería la aceleración la velocidad es menos tres metros por segundo y suponemos que la posición la posición del objeto a los dos segundos es igual a menos diez metros estamos en una dimensión esto quiere decir que el objeto se encuentra a diez unidades a la izquierda del origen ahora dada esta información que tenemos y el desarrollo que hemos hecho acá arriba podemos obtener una expresión para la velocidad como función de tiempo no tan solo la velocidad en un tiempo preciso sino una expresión para la velocidad como función de tiempo y también una expresión para la posición con función de tiempo te invito a que le pongas pausa el vídeo e intentes hacer esto por tu cuenta veámoslo entonces sabemos que la velocidad como función del tiempo va a ser la anti derivada de la aceleración como función de tiempo la anti derivada de 1 con respecto al tiempo y esto va a ser igual a t más una constante c y ahora podemos encontrar el valor de la constante pues sabemos que ve de 3 es igual a menos 3 hagamos eso por acá ve de 3 es igual en vez de t vamos a sustituir el valor de 3 b de 3 igual a 3 más c lo que hemos hecho es que en vez de t hemos sustituido el valor de 3 hay que ponerlo con otro color para que quede más claro aquí tengo el 3 que es el valor de t este 3 lo es sustituido aquí y esto va a ser igual a menos 3 también lo va a poner con otro color menos esto es igual a menos 3 ya podemos despejar se de aquí despejamos de esta ecuación que tenemos aquí préstamos 3 a ambos lados de la igualdad para obtener entonces que se es igual a menos 6 y ya tenemos la expresión exacta para la velocidad como función del tiempo vamos a ponerla por acá btt es igual a t más la constante más menos 6 t menos 6 y podemos verificar esto la derivada de b con respecto al tiempo es igual a 1 y v de 3 es igual a 3 menos 6 que es efectivamente menos 3 ya tenemos entonces la velocidad en función del tiempo hagamos ahora lo mismo para encontrar la posición como función del tiempo sabemos que la posición es la anti derivada de la función de velocidad escribamos esto la posición como función del tiempo es anti derivada de la velocidad con respecto al tiempo esto es la anti derivada de t menos 6 de t y esto es igual la anti derivada de t esté cuadrada sobre 2 eso ya lo sabemos así es que esto es igual a t cuadrada sobre 2 - la anti derivada de 6 que es 6 t y por supuesto también hay que sumarle aquí una constante de integración más c así es que esto de aquí es igual a ese de t esta es la expresión para ese de t vamos a determinar el valor de la constante usando la información que tenemos aquí sabemos que cuando te es igual a 2 la posición es menos 10 vamos a sustituir esa información en la expresión de ese de t así que ese de 2 es igual a 2 al cuadrado sobre 2 2 al cuadrado es 4 sobre 2 esto es igual a 2 menos 6 por 2 que es 12 + c y esto es igual al valor de s de 2 que es menos 10 vamos a agrupar términos semejantes 2 - 12 menos 10 esto nos queda entonces menos 10 + c que es igual a menos 10 sumamos 10 ambos lados y obtenemos que se es igual a 0 y ya hemos obtenido la posición la constante c es igual a 0 así es que la posición como función del tiempo nos queda de cuadrada sobre 2 menos 6 y podemos verificar esto cuando te es igual a 2 2 al cuadrado es 4 sobre 12 es 2 - 12 2 menos 12 es igual a menos 10 si derivamos esto obtenemos menos 6 y podemos ver como ya lo hicimos que ve de 3 es igual a menos 3 y al tomar la derivada aquí dvd t obtenemos la aceleración que es igual a 1 en fin espero que hayas disfrutado de este vídeo