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Evaluar la integral para el método de capas. Ejemplo

Evaluar la integral definida obtenida al usar el método de capas. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en el vídeo pasado establecimos una integral definida para calcular el volumen de este extraño sólido por el método de los cascarones lo que voy a hacer ahora es evaluar esta integral y como hemos visto en vídeos anteriores tenemos que empezar haciendo la multiplicación de estos polinomios empezaremos entonces desarrollando el binomio al cuadrado esto es fácil esto va a ser x cuadrada menos 6 x más 9 y esto lo vamos a multiplicar por x menos 1 por x menos 1 que tenemos entonces menos 1 por 9 es menos 9 menos 1 x menos 6 x es más 6x y menos 1 por x cuadrada sería menos menos equis cuadrado vamos a multiplicar por x ahora x por 99 x positivo x x menos 6 x es menos 6 x cuadrada y x x x cuadrada sería x cúbica vamos a hacer la suma para obtener entonces x cúbica menos 7 x cuadrada 15 x -9 bien y ahora tenemos que multiplicar por equis hemos hecho x menos 3 al cuadrado por x menos 1 y tenemos que multiplicar por x simplemente vamos subir el lado del polinomio entonces nuestra integral original se transforma en vamos a poner que el volumen es igual 2 p la integral de 1 a 3 y que tenemos vamos a multiplicar por x el polinomio para que nos dé x cuarta - 7 x cúbica más 15 x cuadrada menos 9 x y por supuesto de equis iba a poner así en este bonito a surgen bien vamos a tomar entonces la anti derivada de toda esta expresión esto va a ser igual a 2 pi por la anti derivada de esto del integrando y esto lo vamos a evaluar entre sí le vamos a restar lo que resulte de evaluarlo en uno vayamos pues al anti derivada la anti derivada de x a la cuarta es x a la quinta sobre 5 - la anti derivada del 7x cúbica la piedra de x cúbicas x 4a sobre 4 x 7 esto nos da menos 7 x 4a sobre 4 más vamos a sumarle la anti derivada de 15 x cuadrada la anti derivada de x cuadrada es x cúbica sobre 3 al multiplicar la x 15 15 entre 3 es igual a 5 esto nos da 5x cúbica y finalmente se me están acabando los colores la anti derivada de menos 9 x que es simplemente menos 9 x cuadrada sobre 2 esa es la anti derivada y si quieres verificar lo puedes derivar y obtener esto de aquí ya estamos listos entonces para evaluar la anti derivada en los límites superior e inferior esto es igual a 2 pi que multiplica lo que tenemos aquí evaluado en el límite superior en 3 evaluando entonces cuando x es igual a 3 tenemos 3 a la quinta sobre 5 3 a la quinta es 243 quintos déjame verificar tenemos que 3 al cubo es igual a 27 3 a la cuarta es igual a 81 3 a la quinta va a ser 243 efectivamente esto va a ser igual a 243 quintos menos 7 por equis a la cuarta que es 81 7 por 81 déjame ver 7 por 8 56 567 deja de verificarlo por aquí 81 por 7 7 por 17 7 por 8 56 si efectivamente 567 esto hacer menos quinientos sesenta y siete cuartos hay por lo que veo la aritmética se pone un poco complicada pero la vamos a librar vamos al siguiente término 5 x x cúbica 5 x 3 al cubo 5 por 27 esto va a ser 135 27 por 5 vamos a verificar los 5 x 7 35 y 35 por 210 313 135 esto está bien si 135 entonces aquí tenemos más 135 y finalmente menos 9 por 99 por 9 81 menos 81 medios bien esto es la anti derivada evaluado en tres y vamos a restarle la anti derivada evaluada en 1 vamos a restarle la anti derivada en 1 entonces tenemos que evaluado en 1 x a la quinta sobre 5 es un quinto menos menos voy a hacerlo en el color adecuado menos siete cuartos más esto es simplemente 5 x 15 y menos menos nueve medios - 9 medios y que obtuvimos aquí una operación con quebrados peliaguda pero bueno vamos a hacerlo espero no equivocarme hagamos esto entonces esto va a ser igual a 2 pi y para hacer esta suma and stones con un denominador un mínimo común múltiplo que me parece que es 5 4 y 2 el mínimo común múltiplo es 20 si voy a poner todo sobre 20 entonces que tenemos primero 20 entre 5 es igual a 4 243 por 4 a cuánto nos da 4 por 3 esto se lleva mos 14 por 4 16 y 117 llevamos 14 por 2 8 y 19 esto es 972 entonces tenemos 972 sobre 20 menos - 577 cuartos en vigésimos esto va a ser igual a 587 por 5 5 por 7 35 llevamos 35 por 633 33 llevamos 35 por 5 25 y 328 2.835 menos 2.835 vigésimos más vamos a transformar la 135 en 20º 2 135 por 20 135 por 10 mil 350 por 22 mil 700 está bien 2006 jones sobre 20 deja ver 1350 por 22 mil 700 y está bien está correcto 2000 sección sobre 20 luego menos 81 sobre 220 entre 2 es a 10 por 81 obtenemos menos deja de ponerlo con el color adecuado menos 810 sobre 20 simplemente multiplique por diez arriba y abajo vamos ahora a hacer el resto menos un quinto en vigésimos va a ser menos 4 vigésimos bien luego menos x menos más aquí tenemos más 7 por 5 35 vigésimos luego menos por más menos aquí tenemos menos por más menos 100 sobre 20 y finalmente tenemos que 9 medios en 20º sería 9 por 10 90 90 sobre 20 para vernos aquí ya me equivoqué con el signo menos por menos es más si esto va a ser menos por menos es más tenemos que esto hacer más 90 sobre 20 a ver déjame checar si es también estos signos menos un quinto que es menos 4 vigésimos menos x menos más aquí lo tenemos bien menos por más menos y finalmente menos por menos más si ya lo tenemos y ahora ya tenemos un problema de sumas voy a sumar primero los positivos ya sólo resta de la suma de los negativos vamos a hacerlo vamos a ponerlo por aquí primero los post-it y luego estaré los negativos cuáles son los positivos tenemos qué 972 es uno de ellos 2700 35 y 90 vamos a hacer la suma voy a ponerlo de manera vertical 2700 972 luego seguiría y quizá sea que la calculadora para hacer esto no ya hicimos tanto a mano que lo va a seguir haciendo a mano ok luego seguiría 90 y finalmente 35 hagamos esta suma que tenemos aquí 2 5 7 7 y 9 16 y 3 19 llevamos una lo hice bien a ver 7 9 16 y 3 19 si llevamos 19 y una 10 17 llevamos 12 y 133 mil 797 este la parte positiva de la suma vamos a hacer ahora la suma de los negativos que tenemos aquí 2.835 810 4 y 100 vamos a sumar estos negativos 2.835 luego seguiría 8 los 10 luego tenemos 100 y finalmente 4 hacemos la suma 5 y 4 me da 9 luego 3 y 14 luego tenemos 8 y 8 16 y 117 llevamos 12 y 13 muy bien ahora lo que tenemos que hacer es restar 3.749 de 3.797 y esta resta ya es fácil esto nos va a dar 97 menos 49 esto nos da igual a 48 esto es igual a 48 déjame checar que no haya cometido un error negativos menos 2.835 menos 810 menos 100 y menos 9 ok vamos a los positivos 2700 972 90 y 35 si está correcto y 3.787 menos 3.649 es igual a 48 entonces el resultado final y merecemos una fanfarria después de tanto trabajo va a ser igual a 2 pi por 48 sobre 20 y 48 sobre 20 ya podemos simplificar lo más esto tiene cuarta en ambos casos entonces tenemos que cuarta de 48 es 12 cuarta de 20 5 si estoy bien chispas hemos hecho tanta aritmética que no quiero caer en un error final si está correcto entonces finalmente que tenemos como resultado 12 por 2 pies 24 pi sobre 5 24 quintos y este es nuestro resultado final hemos acabado