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El método de capas para rotar alrededor de una línea horizontal

Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es tomar la función ya igual a raíz cúbica de x y la vamos a rotar alrededor del eje x para obtener una figura como ésta ya vamos a rotar entre x igual a cero y x igual a 8 y obtendremos algo que se ve así y este volumen lo podrías calcular fácilmente usando el método de discos sin embargo te voy a mostrar otro método el método de cascarones para calcular volumen usaremos el método de cascarones cuando giramos alrededor de un eje horizontal que en este caso es el eje x y cómo hacemos esto bien vamos a dibujar un rectángulo vamos a dibujar aquí dicho rectángulo lo voy a hacer en este color salmón aquí tenemos un rectángulo que tiene espesor de ye es el espesor de este rectángulo y cuya longitud y cuya longitud es 8 - el valor de x que tenemos aquí déjame ponerlo claramente aquí abajo la longitud del rectángulo esta longitud es igual a 8 - el valor de x correspondiente este punto y cómo puedes darte cuenta si aquí tenemos deie vamos a estar integrando con respecto ayer sobre un intervalo en el eje entonces necesitamos tener la función en términos de yee y cómo hacemos esto bien si la curva es igual a raíz cúbica de x despejando x obtenemos entonces que x es igual a que kubica estas dos expresiones son equivalentes así es que aquí tenemos que esta longitud 8 - el valor de x en términos de ye que es que kubica 8 - que kubica de tal manera que cuando giras este rectángulo alrededor del eje x se va a constituir en un cilindro delgado o un cascarón como le llamábamos déjame dibujar aquí dicho cascarón déjame luego hacer lo mejor posible voy a dibujar aquí es recibiendo delgado que es el cascarón determinado por ese rectángulo aquí lo tenemos aquí lo tenemos hecho comparten esta estación en común con la con la figura de jaime darle un poco de profundidad para que podamos ver claramente ese cascarón y aquí lo tenemos aquí tenemos entonces el cascarón ahora si calculamos el volumen de ese cascarón quien sabemos que corresponde al producto del área superficial por el espesor de este cascarón vamos a obtener volúmenes de cascarón que corresponde una y específica y si sumamos los volúmenes de los cascarones para toda la serie en el intervalo vamos a obtener al final de cuentas el volumen del sólido que nos interesa entonces de nueva cuenta cómo calculamos el volumen de este cascarón bueno podemos calcular la circunferencia de este lado o esta tapa esta etapa izquierda o esta etapa derecha calculamos la circunferencia de esta etapa la cual como ya sabemos es igual la circunferencia es igual a 2 pi por el radio y cuánto vale el radio aquí cuánto vale este radio bueno podemos ver que éste radio en ambas etapas corresponde al valor de llegué aquí en el cascarón entonces la circunferencia a ser igualados pi por llegue ahora si queremos el área superficial lo único que tenemos que hacer es esta circunstancia por el ancho de este cascarón por el largo de este caso más bien dicho es decir por ocho menos que kubica era ponerlo por aquí entonces área superficial externa si queremos ser más precisos esto va a ser igual a al valor de la circunferencia que acabamos de calcular que es igual a 2 pille x el largo del cascarón que es 8 menos que kubica el área superficial es el producto del largo por la circunferencia el cascarón y cuál va a ser el volumen de este cascarón bien el volumen del cascarón va a ser el área superficial 2 pille por ocho menos que kubica x el espesor de este cascarón por deie el espesor del cascarón luego a poner aquí en color púrpura multiplicamos entonces por the yeah este es el volumen de un cascarón si queremos obtener el volumen del sólido revolución tenemos que sumar todos los cascarones a medida que su espesor sea cívicamente pequeño y el número de cascarones y hace infinitamente grande tomemos entonces la suma vamos a integrar y recuerda que estamos haciendo todo en términos de hielo entonces nuestro volumen va a ser igual cuáles van a ser los límites de nuestro integral claramente inicia en cero y el límite superior es cuando x es igual a 8 cuando x es igual a 8 y es igual a raíz cúbica de 8 que es igual a 2 este valor de aquí es 2 déjame ponerlo claramente este valor es que igualados llevaría entonces de 0 a 2 y ya tenemos nuestra integración y es integral se ve bastante síntesis que vamos a atacar la de una vez sacamos el 2000 integral esto es 2 y por la integral de 0 a 2 vamos a hacer este producto en el integrando esto va a ser igual gge x 8 es igual a 8 ollie - de cuarta todo esto de yeah yeah yeah y esto es igual a 2000 vamos a integrar vamos a encontrar la anti derivada la antidiva da de 8 ie8 ye cuadras sobre dos que es 4 de cuadrada - la anti derivada de la cuarta planta y deriva de cuarta que es que quinta sobre 5 y esto evaluado de 0 a 2 es decir esto es igual a los pigs evaluando en el límite superior evaluando en 24 por dos al cuadrado es 4x4 16 - ye quinta evaluada en 222 a la quinta que es 32 esto es menos treinta y dos quintos en el límite inferior cuando llegó al acero expresión se anula esto lo que resulta entonces del integral simplifiquemos esta expresión 16 - treinta y dos quintos hagámoslo acá arriba 16 en quintos es 16 por cinco igual 8080 quintos esto es equivalente a 16 y 80 quinto le vamos a restar 32 580 quintos - treinta y dos quintos me da 48 quintos esto es igual a cuarenta y ocho quintos si está bien 80 - treinta y cincuenta menos 248 si cuarenta y ocho quintos esto hace al final de cuentas nuestro gran final 48 por 296 déjame hacerlo con otro color para indicar que ya es el resultado final 48 por 12 6 96 por pig 596 pintos y de nueva cuenta que mencionó que este volumen también lo podríamos haber encontrado por el método de discos integrando con respecto a x nosotros lo hicimos por el método de cascarones o el método de los cilindros delgados integrando con respecto a qué