El método de capas para rotar alrededor de una línea horizontal

lo que vamos a hacer en este vídeo es tomar la función igual a raíz cúbica de x y la vamos a rotar alrededor del eje x para obtener una figura como esta la vamos a rotar entre x igual a 0 y x igual a 8 y obtendremos algo que se ve así y este volumen lo podrías calcular fácilmente usando el método de discos sin embargo te voy a mostrar otro método el método de cascarones para calcular volumen usaremos el método de cascarones cuando giramos alrededor de un eje horizontal que en este caso es el eje x y cómo hacemos esto bien vamos a dibujar un rectángulo vamos a dibujar aquí dicho rectángulo lo voy a hacer en este color salmón aquí tenemos un rectángulo que tiene espesor de y ese es el espesor de este rectángulo y cuya longitud y cuya longitud es 8 menos el valor de x que tenemos aquí deja de ponerlo claramente aquí abajo la longitud del rectángulo esta longitud es igual a 8 menos el valor de x correspondiente de este punto y como puedes darte cuenta si aquí tenemos de y vamos a estar integrando con respecto a y sobre un intervalo en el eje y entonces necesitamos tener la función en términos de iu y como hacemos esto bien si la curva es igual a raíz cúbica de x despejando x obtenemos entonces que x es igual a que kubica estas dos expresiones son equivalentes así es que aquí tenemos que esta longitud 8 menos el valor de x en términos de y que es que kubica 8 menos que kubica de tal manera que cuando giras este rectángulo alrededor del eje x se va a constituir en un cilindro delgado o un cascarón como le llamamos déjame dibujar aquí dicho cascarón déjame lo voy a hacer lo mejor posible voy a dibujar aquí este cilindro delgado que es el cascarón determinado por ese rectángulo aquí lo tenemos y aquí lo tenemos de hecho comparten esta estación en común con la con la figura déjame darle un poco de profundidad para que podamos ver claramente ese cascarón y aquí lo tenemos aquí tenemos entonces el cascarón ahora si calculamos el volumen de este cascarón quién sabemos que corresponde al producto del área superficial por el espesor de este cascarón vamos a obtener volumen de este cascarón que corresponde una y específica y si sumamos los volúmenes de los cascarones para todas las en el intervalo vamos a obtener al final de cuentas el volumen del sólido que nos interesa entonces de nueva cuenta como calculamos el volumen de este cascarón bueno podemos calcular la circunferencia de este lado o esta etapa esta etapa izquierda o esta etapa derecha calculamos la circunferencia de esta etapa la cual como ya sabemos es igual la circunferencia es igual a 2 pi por el radio y cuánto vale el radio aquí cuánto vale este radio bueno podemos ver que este radio en ambas tapas corresponde al valor de y aquí en el cascarón entonces la circunferencia va a ser igual y por ahora si queremos el área superficial lo único que tenemos que hacer es esta circunferencia por el ancho de este cascarón por el largo de este cascarón más bien dicho es decir por ocho menos que cubica tenga el ponerlo por aquí entonces área superficial externa si queremos ser más precisos esto va a ser igual a al valor de la circunferencia que acabamos de calcular que es igual a 2 ville multiplicado por el largo del cascarón que es 8 menos que kubica el área superficial es el producto del largo por la circunferencia del cascarón y cuál va a ser el volumen de este cascarón bien el volumen del cascarón va a ser el área superficial 2 ville por 8 - que kubica multiplicado por el espesor de este cascarón por d y el espesor del cascarón lo voy a poner aquí en color púrpura multiplicamos entonces por de y este es el volumen de un cascarón si queremos obtener el volumen del sólido de revolución tenemos que sumar todos cascarones a medida que su espesor se hace infinitamente pequeño y el número de cascarones se hace infinitamente grande tomemos entonces la suma vamos a integrar y recuerda que estamos haciendo todo en términos de yen entonces nuestro volumen va a ser igual cuáles van a ser los límites de nuestro integral claramente inicia en cero y el límite superior es cuando x es igual a 8 cuando x es igual a 8 y es igual a raíz cúbica de 8 que es igual a 2 este valor de aquí es 2 déjame ponerlo claramente este valor es igual a 2 llevaría entonces de 0 a 2 y ya tenemos nuestra integral y esta integral se ve bastante siempre si es que vamos a atacar la de una vez sacamos el 2 pide la integral esto es 2 pi por la integral de 0 a 2 vamos a hacer este producto en el integrando esto va a ser igual 10 por 8 es igual a 8 y menos 4a todo esto de i d i y esto es igual a 2 y vamos a integrar vamos a encontrar la anti derivada la anti derivada de 8 y es ocho de cuadra sobre dos que es 4 y cuadrada - la anti derivada de ye cuarta la anti derivada de ye cuarta que es 10 quinta sobre 5 y esto evaluado de 0 a 2 es decir esto es igual a 2 pi evaluando en el límite superior evaluando en 24 por 2 al cuadrado es 4x4 16 - de quinta evaluada en 2 es 2 a la quinta que es 32 esto es menos 32 quintos en el límite inferior cuando ya igual a cero la expresión se anula esto es lo que resulta entonces del integral simplifiquemos esta expresión 16 menos treinta y dos quintos hagámoslo acá arriba 16 en quinto 6 16 por 5 igual 80 80 quintos esto es equivalente a 16 y 80 quinto le vamos a restar 32 quintos 80 quintos menos treinta y dos quintos me da 48 quintos esto es igual a 48 quintos si está bien 80 menos 30 y 50 menos 248 cuarenta y ocho quintos esto va a ser al final de cuentas nuestro gran final 48 por 12 96 déjame hacerlo con otro color para indicar que ya es el resultado final 48 por 12 296 por pi quintos 96 pi quintos y de nueva cuenta te menciono que este volumen también lo podríamos haber encontrado por el método de discos integrando con respecto a x nosotros lo hicimos por el método de cascarones o el método de los cilindros delgados integrando con respecto a qué