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El método de capas para rotar alrededor de una línea vertical

Transcripción del video

tengo la función igual a x menos 3 al cuadrado por x menos uno y lo que quiero hacer es rotar la parte positiva de esta función la parte que está entre x igual a 1 y x igual a 3 que son claramente los ceros de esta función las raíces de esta función y quiero tomar esta región quiero tomar esta región y rotarla alrededor del eje que y si hago eso voy a obtener una figura que se ve como esto el problema es entonces calcular el volumen de esta figura y para esto te voy a presentar un nuevo método denominado cascarones método de cascarones bueno tú podrías decir ya hemos calculado volúmenes cuando rotamos alrededor de ejes verticales para eso utilizamos el método de discos obteníamos la función en términos de jay calculamos el volumen de cada disco pero la razón por la cual vamos a usar un nuevo método es que esta función no la podemos obtener en términos de y no es posible despejar x en términos de i de esta expresión en vez de eso dejaremos la función en términos de x y estableceremos un razonamiento geométrico distinto para obtener el volumen nos vamos a imaginar que desde construir discos vamos a construir cascarones y qué es un cascarón bueno para cada valor de x para cada valor de x vamos a construir un rectángulo vamos a construir un rectángulo y qué pasa si lo rotamos bueno aquí tenemos el mismo rectángulo y qué pasa si este rectángulo junto con toda la región lo rotamos alrededor del eje y bueno veamos lo voy aquí aplicar mis dotes de artista para ver cómo queda ese rectángulo cuando lo giramos aquí lo tenemos no está muy bien bueno sí sí se ve si se ve la idea como puedes ver es un cilindro delgado al cual llamamos cascarón precisamente va a tener cierto espesor de x es el espesor el espesor del cascarón es de x este espesor que tenemos aquí es x y la altura la altura va a ser el valor de la función f x en este caso es x 3 al cuadrado por x menos uno cómo calculamos entonces el volumen de un cilindro como estos bien veamos la geometría de este cascarón si calculamos el valor de esta circunferencia y lo multiplicamos por la altura vamos a estar obteniendo básicamente el área superficial externa de este cilindro y si esta área superficial externa la multiplicamos por el espesor infinitesimal que le estamos llamando de x obtendremos el volumen de este cilindro el volumen del cascarón hagamos eso cuál es la circunferencia del cascarón bueno la circunferencia la circunferencia del cascarón va a ser igual a 2 p2p por el radio del cascarón y esta que va a ser igual bueno esto va a ser necesitamos expresar esto con función de x esto es igual a 2 pi por cuánto vale el radio el radio es la distancia del eje i el punto x donde está el cascarón esa distancia corresponde al valor de x por lo que la circunferencia el cascarón es igual a 2 pi por x ahora cuál es la altura en cualquiera de esos cascarones bueno la altura la altura del cascarón va a ser igual simplemente la función fx esa va a ser la altura del cascarón y como calculamos el área superficial externa como calculamos el área superficial y deje poner entre comillas externa por lo pronto no estoy tomando en cuenta el espesor de x no considera esta parte de arriba ni la de abajo sólo estamos considerando el área superficial externa así que en este caso el área superstición externa va a ser el valor de la circunferencia que tenemos aquí que es 2 px por la altura que es f x y en este caso en particular la función f x aquí la tenemos esto va a ser igual a 2 y x x x menos 3 al cuadrado por x menos 1 y cuál va a ser entonces el volumen bien el volumen el volumen del cascarón va a ser igual a esta expresión que es el área superficial externa por el espesor que es de x es decir 2 px por fx de x y ya estamos listos para integrar entonces el volumen de nuestra figura el volumen de nuestra figura va a ser igual a la integral la integral sobre este intervalo que va de 1 a 3 entonces es la integral de 1 a 3 del volumen del cascarón que obtuvimos aquí 2 pi lo va a sacar del integral entonces va a ser igual a 2 x integral de 1 a 3 de esta expresión que ya desarrollamos x por fx lo cual va a ser por equis menos 3 al cuadrado por x menos 1 y por supuesto por de x esto de x hielo aquí ya hemos obtenido una integral definida por el método de cascarones para calcular el volumen de esta extraña figura