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El método de capas con dos funciones de x

Usar el método de capas para rotar alrededor de una línea vertical. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

este que tenemos aquí es un sólido revolución cuyo volumen pudimos calcular en un vídeo previo usando el método de discos en aquel vídeo integramos con respecto a y para obtener el volumen lo que vamos a hacer ahora es obtener el mismo volumen integrando con respecto a x para lo cual usaremos el método de cascarones lo que vamos a hacer es que esta región que está comprendida entre la curva que iguala x cuadra de la curva igual a raíz de x la vamos a rotar alrededor de la recta vertical x igualados y haremos esto y haremos esto para la región donde ya igual a raíz de x es mayor que ye igual a x cuadrada esto es entre x igual a 0 y x igual a 1 hagámoslo usando el método de cascarones y para esto vamos a construir un cascarón vamos a hacerlo aquí déjame hacerlo en un color distinto vamos a construir aquí un cascarón imaginemos que aquí tenemos este rectángulo cuyo ancho es de equis y cuya altura es la diferencia entre estas dos curvas aquí lo tendremos aquí tenemos ese cascarón que estamos dibujando aquí lo tenemos del otro lado y es un cascarón es como un cilindro muy muy muy delgado aquí lo tenemos por la parte del frente por aquí vendría la parte de atrás y tienen cierto espesor este está dado por de x de x sería el espesor de este cascarón vamos a sombrear lo para que podamos apreciar mejor la profundidad de este cascarón así que cuando giras este rectángulo alrededor de la recta x igual a 2 obtienes un cascarón como éste veamos entonces cómo calcular este volumen es un problema al cual ya nos hemos enfrentado antes necesitamos calcular cuál sería el área de la parte superior del cascarón cuál sería el área de esta circunferencia sabe para calcular el área de una circunferencia necesitamos conocer el radio de la circunferencia esta distancia que tenemos aquí esta distancia de aquí entonces va a ser la distancia horizontal entre el eje x igualados y el valor de x que tengamos aquí cualquiera que éste sea esto de aquí es entonces la distancia entre 2 y x es decir el radio de esta circunferencia es igual a 2 - x de tal manera entonces que la circunferencia va a ser igual a 2 x pi por el radio 2 pi por 2 - x ahora bien el área superficial de la parte externa de este cascarón está va a ser igual a la circunferencia que es igual a 2 pi por 2 - x por la altura de este cascarón y cuál va a ser la altura bueno la altura va a ser la diferencia de estas dos curvas como función de x es decir la curva superior que es igual a raíz de x menos la curva inferior que es igual a x cuadrada va a ser entonces raíz cuadrada de x menos x vamos a ponerlo por acá voy a hacerlo amarillo aquí tenemos entonces raíz cuadrada de x menos equis cuadrada entonces si queremos el volumen de este cascarón que tenemos aquí voy a ponerlo acá abajo voy a hacerlo en blanco va a ser igual a 2 pi por 2 - x por raíz de x menos equis cuadrada esto que acabamos de calcular aquí es el área el área superficial de este cascarón el área externa social de este cascarón y para obtener volumen tenemos que multiplicarlo por el espesor del cascarón y el espesor del cascarón es de equis y si queremos todo este volumen tenemos que sumar todos los cascarones que tenemos aquí y tomar el límite a medida que de x se hace más pequeño y aumenta el número de cascarones y entonces cuál es nuestro intervalo las x van a ir desde 0 a 1 nuestro intervalo integración es de 0 a 1 y esto nos va a dar el volumen de esta figura de este sólido de revolución que tenemos aquí