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Contenido principal
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Transcripción del video

este que tenemos aquí es un sólido revolución cuyo volumen pudimos calcular en un vídeo previo usando el método de discos en aquel vídeo integramos con respecto ayer para obtener el volumen lo que vamos a hacer ahora es obtener el mismo volumen integrando con respecto a x para lo cual usaremos el método de cascarones lo que vamos a hacer es que esta región que está comprendida entre la curva ya iguala x cuadra y la curva llegó a la raíz de x la vamos a rotar alrededor de la recta vertical x igualados y haremos esto y haremos esto para la región donde llegó a la raíz de x es mayor que ya iguala a x cuadrada esto es entre que es igual a cero y x igual a 1 hagámoslo usando el método de cascarones y para esto vamos a construir un cascarón vamos a hacerlo aquí dejan hacerlo en un color distinto vamos a construir aquí un cascarón imaginemos que aquí tenemos este rectángulo cuyo ancho es de x y cuya altura es la diferencia entre estas dos curvas aquí lo tendremos aquí tenemos ese cascarón que estamos dibujando aquí lo tenemos del otro lado y es un cascarón es como un cilindro muy muy muy delgado aquí lo tenemos por la parte del frente por aquí vendría la parte de atrás y tienen cierto espesor este estado por dx dx sería el espesor de ese cascarón vamos a asombrar lo para que podamos apreciar mejor la profundidad de ese cascarón así que cuando giras este rectángulo alrededor de la recta x igualados obtienes un cascarón como éste veamos entonces cómo calcular este volumen es un problema al cual ya nos hemos enfrentado antes necesitamos calcular cuál sería el área de la parte superior del cascarón cuál sería el área de esta circunstancia sabemos que para calcular el área de una circunferencia necesitamos conocer el radio de la circunferencia esta distancia que tenemos aquí esta distancia de aquí entonces va a ser la distancia horizontal entre el eje x igualados y el valor de x que tengamos aquí cualquiera que éste sea estoy aquí ese entonces la distancia entre dos y x es decir el radio de esta circunstancia es igual a 2 - x de tal manera entonces que la circunferencia va a ser igual a 2 por ti por el radio 2 pi por 2 - x ahora bien el área superficial de la parte externa de este cascarón esta va a ser igual a la circunferencia que es igual a 2 pi por 2 - x por la altura de este cascarón y cuál va a ser la altura bueno la altura va a ser la diferencia de estas dos curvas con función de x es decir la curva superior que es igual a raíz de x - la curva inferior que es igual a x cuadrada va a ser entonces la escuadra de x-men os x cuadrada vamos a ponerlo por acá voy a hacerlo en amarillo aquí tenemos entonces raíz cuadrada de x-men os x cuadrada entonces si queremos el volumen de este cascarón que tenemos aquí voy a ponerlo aquí abajo voy a hacerlo en blanco va a ser igual a 2 pi por 2 - x por raíz de x-men os x cuadrada esto que acabamos de calcular aquí es el área el área superficial de ese cascarón el área externa sociales de cascarón y para obtener volumen tenemos que multiplicarlo por el espesor del cascarón y el espesor del cascarones de x y si queremos todo este volumen tenemos que sumar todos los cascarones que tenemos aquí y tomar el límite a medida que dx se hace más pequeño y aumenta el número de cascarones y entonces cuál es nuestro intervalo las xv años de 0 a 1 en este intervalo integración es de 0 a 1 y esto nos va a dar el volumen de esta figura de este sólido revolución que tenemos aquí