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Transcripción del video

voy a tomar la región definida más bien la región que se encuentra entre esta curva en amarillo una curva que está en función de ye que es x igual allí -1 al cuadrado y esta recta en azul que es igual a x - 1 voy a tomar entonces esta región que tenemos aquí y la voy a rotar la voy a derrotar al rededor de la recta ye igual al menos dos para obtener una figura como ésta que parece algo así como el frente de una turbina de avión y lo que queremos hacer es calcular el volumen de este sólido podríamos hacerlo con el método que ya conocemos que es el método de discos aquí tendríamos nuestros discos uno de esos discos y estaremos integrando para x el problema que se presenta aquí al observar la región es que aquí tiene su límite inferior para el disco y aquí tienes otro límite inferior distinto por lo cual para hacerlo por el método de discos tendríamos que separa la región en dos pero como no tenemos ganas de separar la región en dos vamos a encontrar el volumen por el método de cascarones sobre todo porque esta curva ya está expresada en términos de yee y para la recta va a ser muy fácil expresar lo así y lo que vamos a hacer de nueva cuenta es imaginar que tenemos aquí los rectángulos aquí tenemos uno de esos rectángulos cuya altura es ley e íbamos a imaginar que son rectángulos van a girar alrededor de la recta ye igual a menos 2 déjame dibujar por aquí estos rectángulos que cuando giran generan un cascarón aquí tenemos uno de esos rectángulos y aquí lo tenemos por abajo y cuando esto gira aquí tenemos el cascarón que se va formando tiene un cierto espesor el espesores de yee y aquí lo tenemos aquí se puede apreciar claramente el cascarón que genera ese rectángulo al girar y cuyo espesor es de ye déjame darle un poco de sombra para que tenga la perspectiva en tres dimensiones de este cascarón y como hemos hecho en problemas similares la meta aquí es que encontremos el volumen de éste cascarón para un aie específica y después integraremos sobre las leyes para obtener el volumen total del sólido así que lo que vamos a hacer ahora es como hemos hecho en problemas anteriores obtener cuales el radio de este cascarón cuales el radio este cascarones de que estoy poniendo en magenta y como podemos ver aquí básicamente va a ser la distancia entre ye igualados e igualados y el valor específico para allí de ese cascarón esta distancia va a ser el radio aquí la tenemos la distancia entre igualados y el valor específico para allí de ese cascarón así que si esta distancia le llamamos llegue a esta instancia luego llegué aquí hay dos por lo cual la distancia total sería llegue más dos otra manera de ver esto es que la distancia total les llegue menos -2 con lo cual nos da yemas 2 entonces el radio el cascarón va a ser igual a yemas 2 lo que vamos de calcular radios iguala yemas dos y si radios igual hay además dos entonces la circunferencia la circunferencia de este cascarón va a ser igualados pipo radio 2 pi por quemas 2 ahora el área de la superficie externa de este cascarón el área de la superficie en este caso honesta que tenemos aquí va a ser igual a la circunferencia por esto de acá que podríamos llamar el ancho del cascarón por esta distancia o equivalentemente esta distancia de aquí que ya sabemos que es la función la función que está en la parte superior - la función que está en la parte inferior con respecto a los valores de jet y para identificar cuál es la función en la parte superior con respecto a ye hay que identificar la función que dan los mayores valores de x esta función la recta que tenemos aquí en azul en la función que está en la parte superior necesitamos expresar esta función en términos de ye para eso sumó 1 ambos lados y obtengo que x es igual a ye más uno aquí tenemos la función superior y este de aquí en la función en la parte inferior puede inclinar tu cabeza hacia la derecha y ver que efectivamente ésta es la función superior mientras esté aquí la función inferior para un valor fijo de ye esta función de aquí te da un mayor valor de x de lo que lo hace está esta función de aquí fija el límite superior de los cascarones entonces el área va a ser igual a la circunferencia por esta distancia por esta dimensión vamos a escribir esto el área de cada cascarón va a ser igual a la circunferencia que es 2 pi por llegue más dos por esta distancia que tenemos aquí debe ponerlo con otro color por ye más uno si ye más uno que es el límite superior - el límite inferior que sería llegue menos un al cuadrado ye -1 al cuadrado déjame cerrar el paréntesis en el mismo color muy bien y entonces el volumen el volumen de este cascarón va a ser el área superficial externa de este cascarón por el espesor del espesor que es dengue y eso es lo que va a establecer nuestra integral lo va a hacer por acá lo hacer un color neutral va a ser dos pi por llegue más dos por ye más uno menos ye -1 al cuadrado y eso multiplicado por el espesor del cascarón de que integrando esto sobre el intervalo vamos a obtener el volumen pero cuál es ese intervalo podías estimarlo a ojo pero es mejor calcularlo cuando son estas dos funciones iguales necesitamos saber cuándo llegue más uno es igual a ye -1 al cuadrado hagámoslo por acá tenemos entonces que llegue más uno es esto de aquí cuando es igual a estoy acá va a ser igual voy a desarrollar este binomio esto va a ser igual a 10 cuadrada -2 llegue más uno y ahora voy a restar hierro y uno ambos lados menos llenos uno del lado izquierdo y menos llegue menos uno del lado derecho o del lado izquierdo me da cero y del lado derecho me da que cuadrada menos dos llenos llegue es igual a menos tres llegué me cuadra -3 llegue más 0 aquí se cancelan estos términos esto me da cero y que tenemos entonces tenemos que cero es igual ayer que multiplica a yemen 3 lo cual nos da las coordenadas se niegue los puntos de intersección un ocurre cuando llegué es igual a cero y el otro cuando llegué es igual a tres y lo podemos ver aquí cuando llegué es igual a cero tenemos este punto de intersección y cuando llegué es igual a tres obtenemos este otro punto de intersección por lo que el intervalo integración es de 0 a 3 y ya lo tenemos ya tenemos un integral para obtener el volumen de este sólido a través de cascarones lo que hay que pensar ahora es cómo resolver esta integral