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Método de capas con dos funciones de y

Pasar a un siguiente nivel, nuestro sólido ahora está definido en términos de dos funciones separadas. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

voy a tomar la región definida más bien la región que se encuentra entre esta curva en amarillo una curva que está en función de qué es x igual al menos 1 al cuadrado y esta recta en azul que es igual a x menos 1 voy a tomar entonces esta región que tenemos aquí y la voy a rotar la voy a rotar alrededor de la recta de igual a menos 2 para obtener una figura como ésta que parece algo así como el frente de una turbina de avión y lo que queremos hacer es calcular el volumen de este sólido podríamos hacerlo con el método que ya conocemos que es el método de discos aquí tendríamos nuestros discos uno de estos discos y estaríamos integrando para x el problema que se presenta aquí al observar la región es que aquí tienes un límite inferior para el disco y aquí tienes otro límite inferior distinto por lo cual para hacerlo por el método de discos tendríamos que separar la región en dos pero como no tenemos ganas de separar la región en dos vamos a encontrar el volumen por el método de cascarones sobre todo porque esta curva ya está expresada en términos de ye y para la recta va a ser muy fácil expresar lo así y lo que vamos a hacer de nueva cuenta es imaginar que tenemos aquí unos rectángulos aquí tenemos uno de esos rectángulos cuya altura es de g y vamos a imaginar que esos rectángulos van a girar alrededor de la recta de igual a menos 2 déjame dibujar por aquí estos rectángulos que cuando giran generan un cascarón aquí tenemos uno de esos rectángulos y aquí lo tenemos por abajo y cuando esto gira aquí tenemos el cascarón que se va formando tiene un cierto espesor el espesor es de iu y aquí lo tenemos aquí se puede apreciar claramente el cascarón que genera ese rectángulo al girar y cuyo espesor es de y déjame darle un poco de sombra para que tenga la perspectiva en tres dimensiones de este cascarón y como hemos hecho en problemas similares la meta aquí es que encontremos el volumen de este cascarón para una y específica y después integraremos sobre las 'íes' para obtener el volumen total del sólido así que lo que vamos a hacer ahora es como hemos hecho en problemas anteriores obtener cuál es el radio de este cascarón cuál es el radio este cascarón este que estoy poniendo en magenta y cómo podemos ver aquí básicamente va a ser la distancia entre igualados e igualados y el valor específico para y de ese cascarón esta distancia va a ser el radio aquí la tenemos lista 2 y el valor específico para y de ese cascarón así que si esta distancia le llamamos esta distancia le vamos de aquí aquí hay 2 por lo cual la distancia total sería de más 2 otra manera de ver esto es que la distancia total es menos -2 con lo cual nos da yemas 2 entonces el radio del cascarón va a ser igual a ye más 2 lo acabamos de calcular radio es igual a más 2 y si el radio es igual a 2 entonces la circunferencia la circunferencia de este cascarón va a ser igual a 2 y por radio 2 por 100 más 2 ahora el área de la superficie externa de este cascarón el área de la superficie está en este cascarón esta que tenemos aquí va a ser igual a la circunferencia x esto de acá que podríamos llamar el ancho del cascarón por esta distancia o equivalente mente esta distancia de aquí que ya sabemos que es la función la función que está en la parte superior menos la función que está en la parte inferior con respecto a los valores de jeff y para identificar cuál es la función en la parte superior con respecto a y hay que identificar la función que da los mayores valores de x esta función la recta que tenemos aquí en azul es la función que está en la parte superior necesitamos expresar esta función en términos de y para eso sumó 1 ambos lados y obtengo que x es igual a más 1 aquí tenemos la función superior y esta de aquí es la función en la parte inferior puedes inclinar tu cabeza hacia la derecha y ver que efectivamente esta es la función superior mientras esta de aquí la función inferior para un valor fijo de y esta función de aquí te da un mayor valor de x de lo que lo hace esta esta función de aquí fija el límite superior de los cascarones entonces el área va a ser igual a la circunferencia x esta distancia por esta dimensión vamos a escribir esto el área de cada cascarón va a ser igual a la circunferencia que es 2 pi porque más 2 por esta distancia que tenemos aquí deja de ponerlo con otro color por qué uno sí y más uno que es el límite superior menos el límite inferior que sería de menos 1 al cuadrado menos 1 al cuadrado déjame cerrar el paréntesis en el mismo color muy bien y entonces el volumen el volumen de este cascarón va a ser el área superficial externa de este cascarón por el espesor por el espesor que es de ella y eso es lo que va a establecer nuestra integral luego hacer por acá lo hacen un color neutral va a ser 2 x 2 si uno menos diez menos uno al cuadrado y eso multiplicado por el espesor del cascarón del integrando esto sobre el intervalo vamos a obtener el volumen pero cuál es ese intervalo podrías estimarlo a ojo pero es mejor calcularlo cuando son estas dos funciones iguales necesitamos saber cuándo ye más uno es igual a menos uno al cuadrado hagámoslo por acá tenemos entonces que ye más uno es esto de aquí cuando es igual a esto de acá va a ser igual voy a desarrollar este binomio esto va a ser igual a pie cuadrada menos dos más uno y ahora voy a restar y uno ambos lados menos y menos uno del lado izquierdo y menos y menos uno del lado derecho del lado izquierdo me da 0 y del lado derecho me da y cuadrada menos 2 yemen que es igual a menos 3 y encuadrada menos 3 y más pero aquí se cancelan estos términos esto me da 0 y que tenemos entonces tenemos que 0 es igual al que multiplica al menos 3 nos da las coordenadas en vez de los puntos de intersección 1 ocurre cuando es igual a 0 y el otro cuando es igual a 3 y lo podemos ver aquí cuando es igual a 0 tenemos este punto de intersección y cuando llegue es igual a 3 obtenemos este otro punto de intersección por lo que el intervalo integración es de 0 a 3 y ya lo tenemos ya tenemos un integral para obtener el volumen de este sólido a través de cascarones lo que hay que pensar ahora es cómo resolver esta integral