Volumen con secciones transversales: triángulo

veamos si nos podemos imaginar una figura en tres dimensiones cuya base es esta región sombreada que tenemos aquí entre las gráficas de igual a fx y la gtx así es que esta es la base de la figura esta región que sombreado aquí con este color parece púrpura y la figura como que se sale de la pantalla aquí esta línea que he dibujado aquí en azul representa el borde superior de la figura y si tomamos secciones transversales de la figura como podría ser esta que tenemos aquí en amarillo son secciones transversales a la figura que son perpendiculares al eje x esas secciones transversales van a tener forma de triángulos rectángulos que son isósceles así es que si nosotros extraemos una de estas secciones y la vemos de lado esta sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo que además es isósceles como este que tenemos aquí entonces esta hipotenusa del triángulo la vamos a ubicar directamente sobre la base de la figura este es un triángulo isósceles estos dos lados son iguales y aquí tenemos el ángulo recto así es que esta distancia que tenemos aquí entre este punto y este punto la longitud de la hipotenusa corresponde a esta distancia que tenemos aquí entre las gráficas de fx y gtx para un valor dado de x obviamente el valor de esa distancia va a ir variando a medida que cambia el valor de x y para ayudarnos a visualizar la figura aquí dibuje el plano coordenada como si fuera el plano horizontal para tener una perspectiva como si estuviéramos viendo la figura desde arriba con un cierto ángulo así es que aquí es donde he dibujado la base de la figura esta región que tenemos aquí de hecho para que se aprecie mejor voy a hacer los trazos del sombreado como si fueran paralelos a las secciones transversales así es que saque sombreado en la base pero también tenemos otros dos lados es este lado que tenemos aquí que podemos ver como el lado superior o el lado izquierdo más precisamente que en esta gráfica corresponde a esta región de aquí cuando estamos viendo la figura desde arriba y también tenemos este otro lado que en esta figura corresponde al lado derecho mientras que en esta gráfica se ubica en la región posterior ahora todo esto que hemos hecho aquí inclusive este intento de visualizarlo en tres dimensiones es para ver si podemos obtener una integral definida que nos permita calcular el valor del volumen de nuestra figura que aquí hemos intentado dibujar en tres dimensiones y que parece un medio balón de fútbol americano medio balón de rugby te invito a que le pongas pausa e intentes calcular cuál es esa integral definida que calcula el volumen vas a necesitar usar el hecho de que las gráficas funciones intersectan en el origen y en el punto d así es que trata de obtener esa expresión es integral definida donde van a aparecer ceros c de fx que de equis y con la cual vas a poder calcular el volumen de la figura bien supongo que le pusiste pausa y lo intentaste hagámoslo ahora juntos una manera de ver esto es que el volumen de la figura completa lo podemos aproximar calculando el volumen de cada una de estas secciones transversales o rebanadas cuyas caras son triangulares y podemos suponer que tienen un espesor realmente pequeño un espesor realmente pequeño déjame sombrear lo aquí en esta figura ya esa pequeñísima longitud del espesor vamos a designar la x de x así es que vamos a calcular el volumen de cada una de estas rebanadas calculando el área lateral y multiplicando la por ese pequeño espesor de x multiplicándolo por ese pequeño de x que aquí en la figura tridimensional sería este de aquí este es de equis déjame escribirlo más claramente este aquí sería de equis y ahora como vamos a calcular entonces el volumen de cada una de estas rebanadas bien déjame llamarle a esta longitud h y sabemos que h está dada por fx menos gdx que aquí corresponde a esta longitud así es que esto es h así es que entonces h es igual déjame de hecho llamarla hdx pues va a ser una función de x hdx es igual a efe x - menos de x ahora ya que tenemos h como calculamos el área de este triángulo bien sabemos que este es un triángulo rectángulo isósceles sus ángulos son 90 45 y 45 y sabemos entonces que estos dos catetos iguales del triángulo isósceles miden raíz de 2 sobre 2 por la hipotenusa así es que este lado mide raíz de 2 sobre 2 por la hipotenusa y este lado también mide raíz de 2 sobre 2 por ley esos valores se obtienen directamente el teorema de pitágoras digamos que este lado mi idea y este lado también mi idea entonces por teoría de pitágoras tenemos que a cuadrada masa cuadrada tiene que ser igual a h cuadrada esto es 2a cuadrada es igual a h cuadrada vamos a despejar a cuadrada al cuadrado es igual a h cuadrada sobre 2 de donde a es igual a h sobre raíz de 2 lo cual es igual a raíz de 2 por h sobre dos simplemente racionalice el denominador aquí multiplicando por raíz de dos sobre raíz de dos de ahí obtuvimos estos valores entonces cuál es el valor del área el área de un triángulo es base por altura entre dos así es que el área es entonces déjame escribirla aquí abajo el área de este triángulo es igual a la base que es raíz de 2 sobre 2 por h por la altura que también es raíz de 2 sobre 2 por h por un medio por un medio sino multiplicamos por un medio estaríamos obteniendo el área de este rectángulo que tenemos aquí pero nosotros queremos el área del triángulo y esto es igual a raíz de 2 sobre 2 por raíz de 2 sobre 2 esto es igual a un medio multiplicado por un medio nos da un cuarto de h cuadrada y se viene esto a ver veamos raíz de 2 x raíz de dos es 2 sobre 4 es un medio x un medio si un cuarto de h cuadrada ese es el área y cuál va a ser el volumen de estas rebanadas triangulares bien el volumen el volumen de cada rebanada triangular el volumen de estas rebanadas va a ser igual al área de la cara triangular que es un cuarto de h cuadrada que multiplica al espesor en este caso es de x de tal manera que si integramos todos esos volúmenes desde que x igual a cero hasta que x es igual a c vamos a obtener el volumen de toda la figura vamos a expresar eso entonces básicamente para obtener el volumen de toda esta figura vamos a calcularlo como aquí para no confundirnos déjame escribir que este es el volumen de la sección transversal y aquí abajo si ya voy a poner cómo calcular el volumen el volumen de toda la figura de la figura y esto va a ser igual a la integral definida la integral definida desde que x es igual a cero hasta que x es igual hace del té x igual a cero hasta x igual hace de un cuarto de h cuadrada un cuarto de ya sabemos que hdx es igual a efe x - x un cuarto de fx menos gx todo eso elevado al cuadrado de x de x y ya hemos concluido ya encontramos una expresión una expresión que contiene una integral definida para ser más precisos que nos permite calcular el volumen de esta extraña figura que construimos aquí