Clasificar estimados de área

aquí tenemos la gráfica de efe y también tenemos cuatro expresiones distintas te invito a que le pongas pausa al vídeo y trates de determinar cuál de estas expresiones va a dar el mayor valor el segundo mayor valor el segundo menor valor y el menor valor supongo que ya le diste pausa y lo intentaste ahora hagámoslo juntos en la primera expresión estamos tomando la suma desde igual a 0 hasta 9 estamos tomando la suma de 10 objetos el objeto cero el objeto 1 el objeto 2 así hasta llegar al objeto 9 estamos sumando diez objetos empezando del 0 para empezar tomamos efe de menos 5 + 0 así es que empezamos ene efe de menos 50 la función f evaluada en menos 5 que corresponde a esta altura que tenemos aquí ésta es f de menos 5 es el valor cuando y igual a 0 ahora cuando igual a 1 efe de menos cinco más uno es igual a efe - 4 es la altura cuando igual a 1 continuamos con efe de 52 cuando y igualados esta va a ser la altura básicamente vamos a estar sumando los valores de estas alturas desde efe de menos 5 hasta efe de menos 59 hasta f de 4 y aquí podrías preguntarte cómo vamos a relacionar todo esto con un valor de área que de alguna manera es lo que nos están pidiendo aquí que evaluemos como establecemos esta relación pues lo que tenemos aquí representado como los términos de esta suma son valores de la función en diversos puntos podríamos decir que son estas alturas que tenemos aquí quizás ya no estás t que aquí podemos construir rectángulos cuya base es igual a 1 de tal manera que si multiplicamos la altura por la base el valor del área va a ser igual al valor de la altura aquí podemos poner que esto está multiplicando a 1 ya resulta claro que estamos multiplicando altura por la base de este rectángulo y luego de este rectángulo por lo que básicamente estamos tomando rectángulos e inscritos que podemos usar para estimar para obtener una aproximación de esta área que tenemos aquí en azul y claramente nos va a dar un valor subestimado pues no está considerando estas áreas que tenemos aquí no está tomando en cuenta esos valores de área se ve claramente que los rectángulos tocan o se encuentran por abajo de la gráfica de la función déjame escribirlo aquí este es un valor su estimado del área de esta región sombreada en azul veamos ahora qué representa esta es la misma función efe de menos 5 massey pero aquí la suma empieza en igual a 1 y termina en igual a 10 también aquí estamos tomando la suma de 10 cosas pero veamos menos cinco más uno es menos 4 efe - 4 es esta línea que tenemos aquí por lo que ahora aparentemente estamos tomando rectángulos circunscritos pues aquí también es como si estuviéramos multiplicando por 1 al multiplicar por 1 estaríamos obteniendo el valor de esta área obviamente al multiplicar por 1 no se modifique el valor de esta expresión así es que esa va a ser el área del primer rectángulo circunscrito ahora cuando y es igual a 2 va a ser efe de menos 3 y ahora estaríamos calculando el área de este rectángulo déjame completar entonces el dibujo de los rectángulos circunscritos que sería algo como esto y como puedes ver ahora estaríamos sobreestimando el área de la región en azul estos rectángulos circunscritos nos dan una sobreestimación así hasta llegar a igual a 10 donde tenemos efe de menos 510 f 5f de 5 es esta línea que tenemos aquí la longitud de este segmento que al multiplicar por 1 nos da el área de este rectángulo y aquí podemos completar todos estos rectángulos todos estos rectángulos circunscritos que como ya mencionamos al sumar las áreas de estos rectángulos vamos a obtener una sobreestimación pues estamos agregando el área de estas pequeñas regiones que tenemos aquí así es expresión nos va a dar una sobre sobre estimación ahora consideremos esta tercera expresión vamos a empezar en y igual a 1 y vamos a llegar hasta igual a 20 pero aquí la base de los rectángulos no es 1 la base mide un medio de nueva cuenta como la suma inicial en y igual a 1 vamos a hacer nuestra estimación basándonos en rectángulos circunscritos vamos a dibujarlos entonces lo voy a hacer en un color que puedas distinguir lo voy a hacer en naranja el primero lo vamos a ubicar veamos en menos 5 más un medio va a ser efe de eso que es esta altura que tenemos aquí la cual cuando la multiplicamos por la base que es un medio nos va a dar el área de este rectángulo por lo que ahora tenemos el doble el doble de rectángulos circunscritos que se va a ver que se va a ver más o menos así no los voy a dibujar todos pues me tomaría mucho tiempo pero son el doble de rectángulos circunscritos también nos va a proporcionar una sobra y estimación pero va a ser menor a esta que obtuvimos aquí pues en esta estimación se consideraba además toda esta región que tenemos en verde pero con la nueva estimación el área que se suma el área los rectángulos por arriba de la gráfica de la función es menor es decir es una mejor estimación aunque aún el área bajo la curva se sigue sobre estimando pues como vemos en este intervalo donde la función está creciendo los rectángulos circunscritos sobre estiman el valor del área aunque la estimación de la última expresión es más precisa pues la base de los rectángulos que estamos usando es menor es de un medio así es que esta expresión nos proporciona una sobreestimación que es menor que la anterior y la última expresión que corresponde a la integral definida de menos 5 a 5 de fx de x y como bien sabemos esto corresponde al límite cuando tomamos rectángulos cuya base tiende a ser cada vez más pequeña y el número de rectángulos tiende a ser cada vez más grande el número de rectángulos tiende a infinito por lo que el valor que nos proporciona la integral corresponde al área real de la región sombreada en azul a real ahora sí quiero ordenar estos valores de mayor a menor la mayor sobre estimación se obtiene con esta expresión esta corresponde a la mayor sobre estimación esta también va a ser una sobreestimación pero va a ser más precisa pues está basada en más rectángulos este es el área real a la cual le corresponde el número 3 y esta es una subestimación que le corresponde el cuarto lugar esta expresión proporciona el mayor valor mientras que esta expresión proporciona el menor valor