If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Curso: Cálculo, todo el contenido (edición 2017) > Unidad 4

Lección 15: El teorema fundamental del cálculo: regla de la cadena
Matemáticas
Cálculo, todo el contenido (edición 2017)
Integración
El teorema fundamental del cálculo: regla de la cadena
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies

Repaso sobre teorema fundamental del cálculo

Google Classroom
Repasa tu conocimiento sobre el teorema fundamental del cálculo y úsalo para resolver problemas.

¿Cuál es el teorema fundamental del cálculo?

El teorema tiene dos versiones.

a) start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis

Comenzamos con una función continua f y definimos una nueva función para el área bajo la curva y, equals, f, left parenthesis, t, right parenthesis:
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
Lo que esta versión del teorema dice es que la derivada de F es f. En otras palabras, F es una antiderivada de f. Por lo tanto, el teorema relaciona el cálculo diferencial e con el cálculo integral y nos dice cómo podemos encontrar el área bajo la curva usando antiderivación.

b) integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis

Esta versión nos da instrucciones más directas para encontrar el área bajo la curva y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis entre x, equals, a y x, equals, b. Simplemente encuentra una antiderivada F y calcula F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis.
¿Quieres aprender más sobre el teorema fundamental del cálculo? Revisa este video.

Conjunto de práctica 1: aplicar el teorema

Problema 1.1
  • Corriente
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, x, end superscript, square root of, 2, t, plus, 7, end square root, d, t
g, prime, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: aplicar el teorema con la regla de la cadena

Podemos usar el teorema en situaciones más complicadas. Encontremos, por ejemplo, la expresión para start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Observa que el intervalo está entre 0 y x, cubed, no x.
Para ayudarnos, definimos F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, F, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
De nuestra definición, tenemos que integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t es F, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis. Esto significa que start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t es start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, F, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis. Ahora podemos usar la regla de la cadena:
=ddx∫0x3sin⁡(t) dt=ddxF(x3)=F′(x3)⋅ddx(x3)=sin⁡(x3)⋅3x2\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\displaystyle \int_{0}^{x^3}\sin(t) \, dt \\\\ &=\dfrac{d}{dx}F(x^3) \\\\ &=F'(x^3)\cdot\dfrac{d}{dx}(x^3) \\\\ &=\sin(x^3)\cdot 3x^2 \end{aligned}
Problema 2.1
  • Corriente
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, start superscript, 4, end superscript, end superscript, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
F, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión
Sin publicaciones aún.
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.