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Repaso sobre teorema fundamental del cálculo

Repasa tu conocimiento sobre el teorema fundamental del cálculo y úsalo para resolver problemas.

¿Cuál es el teorema fundamental del cálculo?

El teorema tiene dos versiones.

a) start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis

Comenzamos con una función continua f y definimos una nueva función para el área bajo la curva y, equals, f, left parenthesis, t, right parenthesis:
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
Lo que esta versión del teorema dice es que la derivada de F es f. En otras palabras, F es una antiderivada de f. Por lo tanto, el teorema relaciona el cálculo diferencial e con el cálculo integral y nos dice cómo podemos encontrar el área bajo la curva usando antiderivación.

b) integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis

Esta versión nos da instrucciones más directas para encontrar el área bajo la curva y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis entre x, equals, a y x, equals, b. Simplemente encuentra una antiderivada F y calcula F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis.
¿Quieres aprender más sobre el teorema fundamental del cálculo? Revisa este video.

Conjunto de práctica 1: aplicar el teorema

Problema 1.1
  • Corriente
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, x, end superscript, square root of, 2, t, plus, 7, end square root, d, t
g, prime, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: aplicar el teorema con la regla de la cadena

Podemos usar el teorema en situaciones más complicadas. Encontremos, por ejemplo, la expresión para start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Observa que el intervalo está entre 0 y x, cubed, no x.
Para ayudarnos, definimos F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, F, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
De nuestra definición, tenemos que integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t es F, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis. Esto significa que start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t es start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, F, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis. Ahora podemos usar la regla de la cadena:
=ddx0x3sin(t)dt=ddxF(x3)=F(x3)ddx(x3)=sin(x3)3x2\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\displaystyle \int_{0}^{x^3}\sin(t) \, dt \\\\ &=\dfrac{d}{dx}F(x^3) \\\\ &=F'(x^3)\cdot\dfrac{d}{dx}(x^3) \\\\ &=\sin(x^3)\cdot 3x^2 \end{aligned}
Problema 2.1
  • Corriente
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, start superscript, 4, end superscript, end superscript, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
F, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

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