Sumas de Riemann en notación de suma: problema de desafío

abajo tenemos la gráfica de f se muestra un total de 24 rectángulos circunscritos qué quiere decir esos rectángulos circunscritos son 24 rectángulos los puedes contar y que sean circunscritos quiere decir que la altura de todos los rectángulos está determinada por el valor de la función en el extremo derecho del rectángulo aquí lo puedes ver este es el extremo derecho del primer rectángulo y si tomamos el valor de la función en ese punto es la altura del rectángulo para un rectángulo inscrito la altura estaría determinada por el valor de la función en el extremo izquierdo del rectángulo este que estoy marcando sería el primer rectángulo inscrito es la diferencia entre rectángulos inscritos y circunscritos 8 en azul aquí lo vemos y 16 en rojo correcto todos los 24 rectángulos tienen la misma base cuál de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas nos dan tres expresiones en notación sigma y nos dicen que la primera es la suma de las áreas de los rectángulos azules la segunda y la suma de las áreas de los rectángulos rojos y la tercera en la suma de las áreas de todos ahora te invito a que le pongas pausa al vídeo y trates de determinar por tu cuenta cuál de estas afirmaciones es o son verdaderas supongo que ya lo intentaste y ahora vamos a revisar cada una de estas a ver si hacen sentido la primera la suma de las áreas de los rectángulos azules veamos aquí tenemos 1 2 3 4 5 6 7 8 rectángulos azules y aquí estamos sumando desde 1 hasta 8 estamos sumando 8 cosas aquí 1 2 3 4 5 6 7 8 así es que esta parte está bien y luego estamos calculando efe de algo por un medio así es que aparentemente esta de aquí es la altura de cada uno de los rectángulos recuerda que estamos tomando rectángulos circunscriptos y esta de aquí es la base de los rectángulos veamos si hace sentido que la base de los rectángulos es un medio la distancia total del intervalo que va de menos 5 a 7 es 12 57 son 12 estamos dividiendo entre 24 rectángulos que tienen la misma base así es que al dividir 12 entre 24 rectángulos obtenemos que cada rectángulo tiene una base de un medio así es que esto está bien se checa que los rectángulos tienen una base de un medio y ahora veamos esta parte verifiquemos efe de menos 5 más y sobre 2 veamos cuando iu es igual a 1 multiplicamos un medio por efe de menos 5 más 1 sobre 2 menos 5 más un medio y es igual a 1 menos 5 más un medio nos lleva a este punto que tenemos aquí efe de eso es esta distancia que tenemos aquí esta altura lo cual efectivamente corresponde a un rectángulo circunscrito así es que cuando y es igual a 1 definitivamente estamos encontrando el área de este rectángulo ahora cuando y es igual a 2 esto va a ser efe de menos 5 + 2 sobre 2 2 sobre 2 es 1 al agregar 1 a menos 5 llegamos a este punto de aquí de nuevo estamos multiplicando un medio que es la base del rectángulo por efe de menos 51 efe de menos 4 que es la altura de este rectángulo para obtener el área y así podemos continuar cada que aumente el valor de iu en uno el valor de x aumenta en un medio empezamos en menos 5 más un medio y cada incremento del valor de ahí va a resultar en un incremento de un medio para el valor de x de tal manera que el resultado final de la expresión es la suma de las áreas de los ocho primeros rectángulos por lo que esta afirmación es de hecho correcta y la expresión corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos azules ahora analicemos esta de aquí la suma de las áreas de los rectángulos rojos esto parece interesante estamos tomando la suma de 16 cosas y aquí tenemos 16 cosas tenemos la base de esas 16 cosas de hecho para cada una de estas cosas queremos calcular el área y si el caso es que cada una de estas cosas tiene una base de un medio pero qué pasa cuando evaluamos efe de menos y más así es que estamos empezando estamos empezando aquí cuando x vale menos uno ahora cuando y es igual a 1 el valor de x va a ser menos 1 más un medio que corresponde a este punto donde podemos ver que el valor de la función es igual a 0 la altura del rectángulo cuando i es igual a 2 esta es la altura el rectángulo y cuando i es igual a 3 la función va a ser la altura de este rectángulo y aquí es donde tenemos que tener mucho cuidado pues aunque el valor absoluto de esto es positivo vemos que el valor de la función aquí de acuerdo a la gráfica es negativo así es que todos estos van a tener un valor negativo pues como vemos aquí entre x igual a este es el valor de x igual a menos un medio y x igual a 7 el valor de la función es negativo podríamos pensar que aquí tenemos una altura negativa que al multiplicar la por la base positiva obtenemos un número negativo así es que la suma de estos valores va a ser un número negativo por lo que estaríamos obteniendo al final de cuentas el valor negativo de la suma de las áreas de los rectángulos rojos que no es lo mismo que la suma de las áreas de los rectángulos rojos y un área siempre tiene un valor positivo si quisieras por ejemplo cubrir esta región de alfombra requiere cierta cantidad de alfombra lo cual es un valor positivo pero con esta expresión se obtiene el valor negativo de esa cantidad así es que esto no es la suma de las áreas de los rectángulos rojos es menos la suma de las áreas de los rectángulos rojos tachamos esta veamos la última opción esta expresión es la suma de las áreas de todos los rectángulos la suma va desde igual a 1 hasta 24 está sumando 24 cosas empieza aquí y continúa a todo lo largo del intervalo si únicamente tomamos desde iguala 1 hasta 8 es la primera opción pero aquí nos encontramos con el mismo problema a partir de e igual a 9 esto se hace negativo con lo cual nos da por así decirlo un área negativa por lo que la expresión va a sumar esta área positiva con esta área negativa así es que definitivamente no es la suma de las áreas de todos los rectángulos es esta área de aquí menos esta área que tenemos acá