Integración por partes: ∫ln(x)dx

el objetivo de este vídeo es encontrar la anti derivada del logaritmo natural de x y no es obvio cómo hacer esto aunque yo te dijera que puedes usar integración por partes tú podrías preguntarte oye pero me este para intentar integración por partes necesito el producto de dos funciones y aquí solo tengo una función logaritmo natural de x sin embargo podemos hacer obvio esto si escribimos esta integral como la integral de logaritmo natural de x por 1 de x aquí tenemos el producto del gobierno actual de xy la función 1 la función constante 1 también la podemos considerar como una función de x y ahora ya es más obvio cómo usar integración por partes integración por partes no se establece que la integral de fx que prima de x de x esto es igual a y recordemos que la regla integración por partes es el inverso de la regla del producto esto es f x por gd x menos la integral si aquí tenemos f x porque prima de x del otro lado de la igualdad se invierten los papeles por lo que se tiene menos la integral de f prima de x por de x v x es una regla que ya hemos visto varias veces y cuando se trata en contra de fx ig prima de x para f x queremos una función cuya derivada facilite la evaluación de esta integral y para ge prima de x la función que sea fácil de anti derivar en este caso un buen candidato para fx es logaritmo natural de x su derivada es 1 / x entonces hagamos fx igual el logaritmo natural de x y f prima de x es por tanto 1 / x y que prima de x es igual a 1 g prima de x es igual a 1 y la anti derivada de x es igual a simplemente x apliquemos entonces la fórmula el lado derecho de esta integral va a ser fx porque de x f x es igual a lo que natural de x no se pone primero gxg de x es igual a x por fx que es igual a logaritmo natural de x me gusta poner x antes del gobierno actual de x para evitar ambigüedad menos la integral de f prima de x efe prima de x que es 1 / x por gd x gx es igual a x y esto hace es de x simplifiquemos esté integrando aquí tenemos 1 / x x x lo cual es simplemente igual a 1 y esto simplifica bastante bonito esto va a ser igual a vamos a ponerlo por aquí esto es igual a esto simplifica no aquí abajo esto es igual a x el logaritmo natural de x menos la anti derivada de 1 de x o la anti derivada de x en cuanto es la integral de 1d x la anti derivada de de x es menos x y esta es una anti derivada si quisiéramos la anti derivada general le agregamos simplemente más de la constante integración y hemos terminado ya hemos calculado la anti derivada del logaritmo natural de x deriva esto para que verifique en particular aquí va a tener que aplicar la regla del producto verifica que de hecho tienes logaritmo natural de x cuando deriva sexto