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Transcripci贸n del video

veamos c贸mo aplicar la f贸rmula de integraci贸n por partes para encontrar la anti derivada de la x coseno de x de x y recuerda que cuando usamos integraci贸n por partes se trata de encontrar cu谩l de estas funciones de este producto de funciones al derivarse hacia la expresi贸n m谩s simple pues ni a la x ni coseno de x al tomar su derivada se hace m谩s simple ni tampoco cuando tomo su anti derivada se hace m谩s compleja la expresi贸n en este caso es como echar un volado a cu谩l asignas fx ya cu谩l que prima de x de hecho no importa cu谩l es tu elecci贸n siempre llegas a la misma soluci贸n entonces asignemos como f x hacia la equis y como g prima de x a coseno de x vamos a escribirlo ac谩 abajo tenemos que fx es igual ayala x importante prima de x es igual a yale x la deriva con respecto a x de a la x es la x por otro lado g prima de x es igual a con seno de x y la anti derivada de x va a ser igual a la anti derivada de coseno de x que es seno de x gx es igual a seno de x apliquemos entonces integraci贸n por partes esto va a ser igual a fx por gd x fx que es la x por gd x que es seno de x y ala x por seno de x y esto - menos la integral de f prima de x f prima de x es a la x y a la x x gx que es seno de x integral de a la x seno de x y todo esto de x no parece que hayan mejorado las cosas s贸lo tenemos un integral en t茅rminos de seno de x pero bueno veamos qu茅 pasa al resolver esta integral vamos a resolver este integral tambi茅n por partes lo voy a hacer ac谩 abajo tenemos que la integral de a la x seno de x de equis y esto que va a ser igual bueno vamos a asignar vamos a asignar tambi茅n como fx a la equis es un integral diferente pero bueno aqu铆 tambi茅n coincide que fx es igual a yale x con lo cual f prima de x es igual a ya la equis y entonces gdx gx es igual a seno de x pero aqu铆 aqu铆 tengo un error porque lo que necesitamos aqu铆 es que prima de xy d茅jame corregir esto d茅jame corregir esto lo que tenemos aqu铆 es que prima de x prima de x es igual a seno de x y por lo cual gdx es igual a menos coseno de x la derivada de coseno de x es menos seno de x la deriva de menos coseno de x es seno de x vamos a aplicar entonces la f贸rmula de integraci贸n por partes esto es igual entonces a fx porque de x es decir a la x x menos coseno de x podemos mejor poner el signo menos por delante ser铆a menos que a la x por coseno de x-men o sea la x coseno de x y esto menos la integral de f prima de x por gdx efe prima de x es a la x ya la x x - coseno de x a la x x menos coseno de x dentro el integral voy a escribir coseno de xy el signo menos lo voy a sacar del integral menos por menos es m谩s por lo cual es positivo el signo y por supuesto tenemos de equis para cerrar la integral y aqu铆 podr铆as decir oye sal no hemos hecho ning煤n progreso esta integral est谩 en t茅rminos del integral original estamos como dando vueltas aqu铆 tenemos ya el x coseno de x el original era de a la x coseno de x estamos dando vueltas al hagamos algo que es interesante sustituyamos esto de aqu铆 sustituyamos esto de aqu铆 d茅jame indicarlo de otra manera vamos a sustituir esta integral que tenemos aqu铆 aqu铆 donde ya la ten铆amos originalmente a ver d茅jame ver c贸mo puede indicar esto la lista mira esto que tenemos aqu铆 que es el resultado de la integral lo vamos a sustituir aqu铆 en la expresi贸n original y veamos qu茅 es lo que sucede que tenemos entonces del lado izquierdo es la integral original la anti derivada que nos ped铆a la integral de a la x x de x y esto es igual a ea la x seno de x y a la equis x y menos vamos a restarle esta expresi贸n vamos a restar esta expresi贸n que obtuvimos ac谩 entonces al restar menos a la equis coseno de x tenemos que hay que sumarle m谩s que a la equis coseno de x y a la x x y luego al restarle este integral tenemos que va a ser menos menos la integral de a la x - la integral de a la x con seno de x de x ahora esto es interesante que hemos hecho f铆jate encontramos esta integral la encontramos por partes aqu铆 abajo y luego los sustituimos ac谩 arriba los restamos de a la equis seno de x y obtuvimos esta expresi贸n que tenemos ac谩 abajo que observa que obtuvimos obtuvimos una ecuaci贸n donde aparece dos veces la integral que nos est谩n pidiendo de hecho podemos asignarle una variable esta integral y tendr铆amos una ecuaci贸n en esa variable vamos entonces a despejar la integral sumando el lado izquierdo la integral de a la x coseno de xx y tambi茅n sumando el lado derecho a la integral de a la x x de x que resulta del lado izquierdo va a ser dos veces la integral de a la x coseno de x de x del lado derecho ser铆a este t茅rmino la suma de estos dos t茅rminos voy a copiar y pegar voy a copiar y pegar esto muy bien para que finalmente esta parte estos dos t茅rminos se hace en cero y ya podemos despejar entonces la integral de a la x coseno de equis de x vamos a dividir ambos lados de esta ecuaci贸n de hecho es una ecuaci贸n vamos a dividir ambos lados de esta ecuaci贸n entre dos del lado izquierdo al divididos entre dos se hace uno y nos queda tan solo la anti derivada de a la x coseno de x de x y del lado derecho dividiendo entre 2 ser铆a el ax seno de x m谩s ya la x coseno de x sobre 2 pero ojo lo que estamos obteniendo aqu铆 es una de tantas anti derivadas ser铆a realmente una pena despu茅s de todo el proceso que hicimos de integrar dos veces por partes de sustituir una de esas integrales en la expresi贸n original tenemos que recordar que requerimos la constante integraci贸n ce para obtener la anti derivada general as铆 que si t煤 derivas esta expresi贸n sin importar el valor de la constante vas a obtener que a la x coseno de x de hecho vi茅ndolo bien el resultado es sumamente elegante