Integración definida desafiante

para todo el número real x x entre corchetes define al mayor entero menor o igual a x es conocida como la función mayor entero sea s una función real evaluada definida en el intervalo de menos 10 a 10 incluyendo los extremos se define como x - el mayor entero de x si el mayor entero de x es impar y uno más el mayor entero de x men x si el mayor entero de x es paz luego el valor de pi cuadrada sobre 10 por la integral de menos 10 a 10s de x coseno de px de x es bueno antes de intentar resolver la integral hay que ver si podemos visualizar la función fx muy bien visualicemos la función fx definida de esa manera aquí voy a dibujar mi eje de las x y aquí voy a dibujar mi eje de las 10 muy bien ya tengo mis ejes ahora aquí está el punto cero entonces ponemos el cero aquí tengo el 1 aquí x2 x igual a 3 también tengo los negativos x igual a menos 1 x igual a menos 2 y así puedo seguir pensemos en cómo se ve dicha función esperemos encontrar un patrón ya que la función cambiado para impar muy bien iniciemos en el intervalo del 0 al 1 quién es el mayor entero en el intervalo del 0 al 1 lo que estoy haciendo es lo siguiente estoy tomándome a 0 hasta llegar al 1 es decir todos los que estén bajo el 1 entonces el mayor entero es cero ya que si tengo 0.5 el mayor interés cero es todos los que están bajo el 1 ahora bien del 1 al 2 cuál es el mayor entero ah bueno pues del 1 al 2 el mayor entero es 1 ya que si tengo 1.5 el mayor entero es 1 si yo tengo unos puntos 9 el mayor entero es uno análogo para el intervalo de 2 a 3 del 2 al 3 el mayor entero es 2 si yo tengo 2.4 el mayor interés 2 si yo tengo 2.9 el mayor entre los dos ya con esto intentemos dibujar la gráfica entonces en el intervalo del 0 al 1 el mayor entero es 0 lo podemos considerar par así por alternancia tenemos que el 0 es paz el lunes impar el 2 es paz este es impar y así entonces tenemos este caso donde el mayor entero es paz ahora bien aquí uno más el mayor entero de x x estamos trabajando sobre el intervalo del 0 al 1 y en el intervalo del 0 al 1 el mayor entero es 0 por lo tanto nos queda aquí la función fx es igual a 1 - x aquí tengo uno y entonces la función baja de esta manera entonces se ve así en el intervalo del 0 al 1 ahora pensemos en el intervalo 12 en el intervalo 12 es decir tomando al 1 pero no tomando el 2 lo que tenemos es que el mayor entero es 1 por lo tanto tenemos en este caso el mayor entero es impar entonces trabajamos aquí x - el mayor entero de x que en este caso es 1 tenemos entonces la gráfica de x menos 1 y la gráfica de x menos 1 se ve así cuando x es 1 tenemos cero y cuando x es 2 tenemos 1 por lo tanto sube de esta manera y así tenemos que esto es la gráfica de x 1 y esta es la gráfica de 1 - x y continuamos de 2 a 3 el mayor entero es 2 entonces vemos este caso por lo tanto 1 + 23 menos x cuando x estos tenemos entonces tres menos 2 es 1 y cuando x es 3 tenemos 3 menos 30 por lo tanto la gráfica baja de esta manera oscila nuevamente hacia abajo ahora sí creo ya tenemos una buena apreciación de cómo se ve la gráfica de nuestra función así saltarina va a bajar subir bajar subir con la pendiente positiva negativa positiva negativa y así va a seguir sucesivamente puedes intentarlo con otros intervalos es claro que ese es el patrón de la función ahora queremos evaluar la integral de menos 10 a 10 de esta función por el coseno de px y ver si coseno de pie x es periódica y claro que es periódica ahora también intentemos simplificar la integral de tal que no tengamos que evaluarla en todo este periodo hagámosla una integral más simple evaluamos la función en x igual a cero tenemos coste no de tipo cero que es coseno de cero y coseno de cero es 1 entonces ponemos uno ahora bien en x igual a 1 tenemos coseno de iu por 1 entonces con seno del consejo de pi y evaluando es igual a menos 1 entonces ponemos aquí menos 1 en x igualados tenemos coseno de 2 pi nuevamente es 1 y claro en x igual a un medio tenemos que coseno de pime dioses 0 por lo tanto tenemos aquí 0 y 0 entonces nuestra función baja de la siguiente manera cruzando x igual a un medio y sube nuevamente y baja otra vez y entonces ves que también es periódica ahora si quisiéramos averiguar la integral del producto de estas dos funciones periódicas evaluadas desde menos 10 a 10 creen que lo podemos simplificar creen que podemos simplificar dicha integral sí sí podemos sí porque para simplificarnos la existencia lo que hacemos es por ejemplo tomar el intervalo del 0 al 1 y aquí tomamos el producto de las dos funciones de kossen o pi x por 1 - x y vemos cuál es el área bajo la curva ahora en el siguiente intervalo del intervalo 12 si tomamos el producto de estas dos funciones esta x está tenemos la misma área entonces aquí lo que estamos viendo es que si tomamos del intervalo 0 1 y después del 1 al 2 y a estas dos funciones las ponemos una sobre la otra bajo este eje de simetría son totalmente iguales simétricas entonces cuando tengamos el producto de las dos funciones bajo la curva vamos a tener la misma área también del 2 al 3 si observas tenemos la misma función que del 0 al 1 entonces esto se repite ahora bien ambas funciones se ven idénticas bajo ese intervalo pero también sería lo mismo que del intervalo 1 al 2 por la simetría entonces el producto de estas dos sobre este eje ellas lanzan el mismo valor de la integral en esos intervalos ahora bien queremos reescribir esto de aquí evaluamos queremos evaluar si cuadradas sobre 10 por la integral de menos 10 a 10 de fx coseno de pi x ahora usando esta lógica lo que tenemos es que esto es igual y cuadrada y cuadrada sobre 10 por la integral pero del 0 al 1 del producto de estas dos funciones entonces del 0 al 1 tenemos que la integral de menos 10 a 10 es el 01 pero 20 veces entonces tenemos el intervalo por 20 veces de la integral del 0 al 1 de fm x coseno de px de x y quiero asegurarme que esto quede claro porque esto es realmente la parte difícil del problema solo darse cuenta que la integral en este intervalo del 0 al 1 es una veinteava parte de toda la integral y se repite para cada intervalo para cada intervalo vale lo mismo del 1 al 2 también es la misma integral y así entonces en lugar de hacer la integral de menos 10 a 10 vamos a hacer 20 veces la integral del intervalo 01 de menos 10 a 10 hay una diferencia de 20 entonces estamos multiplicando aquí por 20 y esto nos simplifica mucho primeramente aquí 20 entre 10 es 2 entonces tenemos dos pies cuadrados esto es aparte por la integral del 0 al 1 pero de 0 a 1 que ssd x a bueno de 0 a 1 f x es 1 x entonces fx es 1 x del 0 al 1 por el coste no de px de x y ahora sólo nos queda evaluar 2 pie al cuadrado por esta integral ahora bien esto de aquí 1 - x por el coste no de px es lo mismo que cocinó de pi x - x coseno de px ahora vamos a tomar la anti derivada enfoquemos en tomar la anti derivada bueno en este caso en el coste no pi x es bastante sencillo entonces enfoquemos en este otro caso la anti derivada la anti derivada de x coseno de pi x aquí lo que depende a tu mente es a bueno pues no está tan sencillo este asunto pero si yo me puedo tomar la derivada de x eso simplifica mucho las cosas y tomarse la anti derivada de coseno de px podemos hacerlo sin hacer las cosas más difíciles entonces que viene a la mente pues integración por partes y que no dice la integración por partes la integración por parte nos dice que la integral de un bebé es igual a v menos la integral de bdv y lo vamos a aplicar aquí ahora ya ha hecho pruebas y ejemplos donde uso esto y te muestro qué significa pero vamos a aplicarlo aquí y en general vamos a tomar la derivada de lo que sea esta cosa y lo que queremos es que use algo sencillo cuando me tomo la derivada y de voy a tomar la anti derivada de debe entonces queremos algo que no sea tan complicado cuando me tomo la anti derivada y lo que es más sencillo cuando me tomo la derivada es x entonces pongo o igual a x luego claramente desigualdad de x vvx es igual a 1 entonces desigualdad de x ahora bien luego debe ser a el resto esto de aquí entonces debe es igual al coseno de px coseno de px de x entonces la anti derivada de eso es justamente be es la anti derivada de esto con respecto a x y esto es igual a 1 sobre pi seno de px y es verdad si me tomo la derivada de esto y de lo de adentro lo que obtengo spears y uno sobre pib por pi se cancela entonces la derivada de seno de pie x es coseno de px entonces ya tenemos nuestro nuestro b por lo tanto esta integral va a ser igual por ver qué es x por 1 sobre ti entonces x sobre seno de iu x menos - la integral - la integral de b pero es igual a 1 sobre pisen de px por d pero de u s x entonces por de x y esto ya sale inmediato la anti derivada de seno de px es 1 sobre pío menos uno sobre pi coseno de px y puedes tomar la derivada para verificar usando sustitución ahora bien en esta expresión de aquí esto es igual a equis x sobre seno de ti x menos esta expresión de acá ahora en esta expresión la anti derivada de seno de pi x es menos 1 sobre pib coseno de pie x entonces los menos se cancelan y tenemos más uno sobre pi por 1 sobre pies 1 sobre pi cuadrada coseno de pío x y esa es la anti derivada de esto la puedes verificar derivando costero de px es menos pi seno de px un peak se cancela obtenemos un signo negativo y tenemos seno de px entonces esto es la derivada de esto entonces lo que queremos es la anti derivada de esto ahora es lo que nos interesa del 0 al 1 del 0 al 1 de x la anti derivada de este primer término coseno de px sale inmediata de hecho ya la hicimos es 1 sobre el seno de pío x y ahora este segundo término es lo que acabamos de hacer aquí entonces con un siglo menos lo estamos restando ponemos menos x sobre bi xenón de pie x menos 1 sobre pi cuadrada coseno de pi x es la anti derivada entonces estamos tomando la integral definida del 0 al 1 entonces evaluamos del 0 al 1 y tampoco olvidemos el 2 y cuadradas vamos a multiplicar por eso entonces ponemos aquí 2 y cuadrada entonces hay que evaluar primeramente evaluamos con 11 sobre pi seno de pi por 10 de pies cero entonces 0 - 1 sobre pi seno de iu por 1 nuevamente tenemos 0 y menos 1 sobre pi cuadradas coseno depp y por unos coseno de pi por 1 es cocinar ep menos uno entonces tenemos menos por menos + + 1 sobre pi cuadrada y eso es evaluado en 1 ahora veamos evaluado en 0 - evaluado en cero tenemos seno de cero es 0 - aquí x es igual a cero entonces claramente 0 y seno de 0 es cero menos 12 90 es 1 entonces nos queda uno sobre pi cuadrada entonces ponemos 1 sobre pi cuadrada y ahora bien entonces aquí vamos a multiplicar por un menos tenemos entonces más menos más más y nos queda uno sobre pi cuadrada más uno sobre pi cuadrada que es igual a 2 sobre pi cuadrada entonces 2 sobre pi cuadrada y eso es lo que obtenemos de evaluar en esa expresión ahora no olvidemos multiplicarlo por el 2 y cuadradas todo ese término se multiplica por 2 y cuadradas entonces por 2 y cuadradas que es justo lo que tenemos frente a la integral adiós a los pi cuadrados 2 x 2 es 4 entonces todo esto que parecía bastante complicado se resume simplemente a 4