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Transcripción del video

veamos si podemos evaluar la integral indefinida de tangente de x de x y como siempre te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta te voy a dar una ayuda ver si puedes aplicar la regla de sustitución bien supongo que ya lo intentaste hagámoslo juntos la regla y sustitución nos dice que si tenemos una función multiplicada por su derivada podemos aplicarla sin embargo aquí tan solo vemos una función tangente de x como la aplicamos aquí siempre que ve una función como tangente de x secante de x o con secante de x lo que se me ocurre es escribir la definición de la función en términos de seno y cosenos y dado que contamos con una gran cantidad de herramientas para operar con cm y coseno a nuestras mentes por lo menos a la mía le es más fácil operar así sabemos entonces que tangente de x es igual a seno de x sobre coseno de x voy a reescribir aquí la integral así es que esto es igual a la integral de seno de x sobre coseno de x la cual podemos describir como y esto para darte una ayuda esto es igual a la integral seno de x que multiplica a 1 sobre coseno de x y si no pudiste resolver la la primera vez de nueva cuenta ponle pausa el vídeo y ve que ahora sí la sugerencia sigue siendo aplica la regla de sustitución bien a qué me refiero cuando digo la regla de sustitución revisemos eso antes de continuar con el ejemplo veamos ya sabemos que la integral indefinida de uno entre x de x esto es igual al logaritmo natural del valor absoluto de x + c entonces ahora cuál será la integral indefinida de f prima de x que multiplica a 1 / efe x de x aquí es donde podemos aplicar el teorema de sustitución aquí tenemos uno sobre fx si esto está multiplicado por su derivada ya podemos integrar con respecto a fx y así es el integral que queremos resolver tenemos la derivada multiplicada por 1 la función así es que esto es igual a el logaritmo natural del valor absoluto de fx que es lo que tengo el denominador más c así es que eso me expande mucho ya no cabe todo en la pantalla así es que eso es lo que vamos a aplicar aquí aquí tenemos que cose no de x coseno dx es fx esto es fx y aquí no tenemos precisamente la derivada de coseno dx que es menos seno de x nosotros tenemos seno de x pero todo le hacemos como nos las ingeniamos qué tal si incluimos un negativo dentro y otro afuera del integral no la alteramos pues estamos multiplicando por menos 1 la integral 2 veces lo cual es 1 positivo así es que menos seno de x aquí forcé un poco este signo menos dentro del integral menos seno de x que tenemos aquí ya es f prima de x ya transformamos seno de x en menos seno de x lo cual es efe primer x ya podemos ahora aplicar el teorema de sustitución que esto es igual al logaritmo natural del valor absoluto y aquí nos merecemos unas pequeñas fanfarrias del valor absoluto de coseno de x + c y por supuesto no olvidemos este signo menos que tenemos por fuera el integral que hay que incluir aquí y así hemos concluido hemos obtenido que es un resultado interesante pues es muy útil saber cuál es la integral indefinida de tangente de x es interesante que si se conecten estas dos funciones así es que la integral indefinida de tangente de x es menos el logaritmo natural del valor absoluto de coseno de x más c