Sustitución con x=sin(theta)

en esta ocasión tenemos esta variada integral y bueno la idea detrás es resolverla por sustitución trigonométricas y porque se me ocurre usar la sustitución trigonométricas es que siempre que veamos una integral de la siguiente forma cuadrada - x cuadrada nos conviene usar una sustitución trigonométricas bueno si nosotros tenemos este problema lo que nos conviene decir es que x es igual a veces el seno de teta porque porque a nosotros nos va a quedar a cuadrada menos a cuadradas en donde tan inspector izamos en la cuadrada me va a quedar a cuadrada que multiplica a uno menos el seno de teta y uno menos el seno de teta es la identidad trigonométricas más importante que hay la identidad pitagórica y por lo tanto nos va a quedar a cuadrada que multiplica al coseno beteta sin embargo en esta ocasión no se ve tan claro que tengamos esta forma entonces lo voy a escribir aquí tengo 8 menos 2 veces x cuadrada ahora qué les parece si yo factor hizo en un principio 12 entonces me quedan 2 que multiplica a 4 menos x cuadrada y ahora si ya tenemos esta forma porque es lo mismo multiplicados al cuadrado y aquí claramente ya se ve quién es y va a ser 2 por lo tanto haciendo mi cambio de variable lo que me va a quedar es lo siguiente x es igual a dos veces el seno de teta lo voy a escribir aquí x es igual a dos veces el seno de teta y bueno ya que tenemos a x de una vez vamos a derivar lo la diferencia del de x es igual a dos veces el concepto de tetas diferencial de teta y ahora sí ya podemos empezar a limpiar todo esto porque quién va a ser esto que tenemos aquí esto es lo mismo que 2 que multiplica a 2 al cuadrado - x cuadrada pero quien es x cuadrada ambos es 2 al cuadrado seno cuadrado de teta entonces ahora sí voy a factorizar mi 2 al cuadrado comenzaría dicho yo en un principio esto me va a quedar 2 que multiplica a 2 elevado al cuadrado que a su vez multiplica a uno menos el seno cuadrado de teta y bueno me va a quedar 2 por 2 al cuadrado que es lo mismo que 8 que multiplica al coseno cuadrado de teta esto porque uno menos el seno cuadra beteta es lo mismo que el coche no cuadrado de teta ahora sí empezar a sustituir en esta ecuación tengo pin pero pienso una constante por lo tanto vamos sacarlo afuera desde integral tengo el diferencial de x pero el diferencial de x es dos veces el coche no detecta diferencial de teta así que vamos a escribirlo tengo a de x que es este de aquí pero no no lo quiero en color azul ante x a su lado y de x es lo mismo que dos veces el coste no de teta dos veces el consejo de teta que multiplica al diferencial de teta de abajo que tengo pues no tengo en la raíz de 8 menos 2x cuadrada pero todo esto era esto de aquí por lo tanto lo voy a sustituir de una vez me va a quedar la raíz de 8 pero que es la raíz de 8 haber factores hemos el 88 lo mismo que dos por dos por dos y si le sacamos raíz me va a quedar dos veces la raíz de dos éstos dos veces la raíz de dos por la raíz del coseno cuadrado de teta pero la raíz del coste no cuadra beteta es simple y sencillamente el coseno de teta a recuerden tengan mucho cuidado no es tal cual el coste no de teta es el valor absoluto del coseno de teta sin embargo podemos asegurar que el concepto de teta siempre es positivo porque puedo decir yo esto por cómo está definida la equis la equis es dos veces el seno de eta y si nosotros dejamos de aquí a teta que me va a quedar bueno primero voy a pasar el 2 dividiendo entonces me va a quedar x entre 2 es lo mismo que el seno de teta y bueno cuál es la función inversa al seno pues el ángulo cuyo seno o el arco cuyo seno por lo tanto teta es lo mismo que el arco cuyo seno es x entre 2 y esta función usualmente está definida entre menos pi medios y medios y en menos pri medios y medios el coseno de teta siempre es positivo recuerden la gráfica del coseno y se van a dar cuenta de que siempre es positivo en ese intervalo por lo tanto ahora sí vamos a simplificar conocen lo que multiplica y conocen lo que divide se van 2 que multiplica y 2 que dividen se van una raíz de 2 que está dividiendo la voy a sacar del integral porque es una constante y va a pasar dividiendo también entonces me queda pi entre raíz de 2 de la integral de las diferencias de t pero quién está integrando la diferencia detecta esto que es muy sencillo la integral de la diferencial de teta es simple y sencillamente teta más una constante de integración y hemos acabado ahora lo que hay que hacer es retomar la sustitución hacia atrás sin embargo ya habíamos despejado a teta y entonces solamente hay que ponerlo me queda pi entre la raíz de 2 que multiplica a teta pero te da es el arco cuyo seno es x entre 2 ya todo esto hay que aumentarle una constante de integración otra vez y entre la raíz de 2 por el largo cuyo seno es x entre dos más c y bueno hay algunas personas que no les gusta la raíz de 2 dividiendo sin embargo si lo quieren pueden racionalizar y ya con esto hemos acabado todo está integrada que parecía muy difícil haciendo una sustitución trigonométricas realmente no estaba tan difícil