Introducción a la sustitución trigonométrica

digamos que queremos evaluar esta integral indefinida le echas un vistazo rápido observas esta raíz de 4 menos x al cuadrado y dices bueno intentemos resolver esta integral utilizando una sustitución pero lo intenta si no funciona la sustitución realmente no hace que esta expresión se simplifique y entonces te quedas mirando fijamente y dices bueno a ver esta raíz de 4 menos x al cuadrado me recuerda al teorema de pitágoras aunque te recuerda por ejemplo a un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de tamaño 2 y esta expresión sería lo que obtendríamos si uno de los lados uno de los catetos fuera equis y quisiéramos encontrar el otro cateto aunque porque entonces para encontrar la longitud del otro cateto tendríamos la hipotenusa al cuadrado o sea 2 al cuadrado - el otro cateto al cuadrado o sea x al cuadrado y tomamos la raíz d según el teorema de pitágoras entonces pues vamos a explorar un poco más a fondo esa idea así es que tenemos un triángulo rectángulo por aquí y si por alguna razón esto no te recordó al teorema de pitágoras no hay ningún problema la verdad es muy probable que la primera vez que yo vi esta expresión tampoco me haya acordado del teorema de pitágoras pero es una muy buena forma de recordarlo así es que digamos que tenemos este triángulo rectángulo y vamos a ver claramente todo eso que estábamos diciendo acerca de esta raíz entonces si la hipotenusa de este triángulo rectángulo es 2 que ésta es la hipotenusa del triángulo rectángulo la hipotenusa mide 2 y si este lado de aquí este cateto de aquí tiene una longitud x que lo sé es un poco contraintuitivo que este cateto sea el cateto x porque generalmente esta dirección y estos lados los asociamos con ye y estos lados los asociamos con x pero para no hacer un relajo en la pantalla vamos a decir que este lado es el que mide x pero bueno si esta es la hipotenusa y este cateto mide x entonces cuánto mide este otro lado de aquí y cuánto mide este lado de aquí pues si utilizamos el teorema de pitágoras la longitud de este cateto es la raíz de la hipotenusa al cuadrado pero 2 al cuadrado es simplemente 4 - la longitud del otro cateto al cuadrado aunque ello sea menos x al cuadrado y eso está súper curioso no está súper interesante y es justo lo que estábamos diciendo hace unos cuantos minutos ahora aunque esté muy interesante eso como nos sirve como nos ayuda a resolver esta integral y justo en ese punto es donde entra la trigonometría porque si tomamos este ángulo y le llamamos theta entonces cuáles son seno de teta y coseno de teta en términos de los lados de este pues el seno de nube zeta cateto puesto sobre hipotenusa ok entonces es x entre 2 ahora si queremos despejar la x lo que nos queda es que x es igual a 2 por el seno detecta bueno pero que hay del coste no beteta coseno de teta es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa aunque yo sea de 4 - x al cuadrado entre 2 o si queremos despejar este lado del triángulo entonces lo que nos queda es que la raíz de 4 - x al cuadrado es igual a 2 por el coste no de teta y eso está súper interesante porque si x es igualados por el seno beteta entonces toda esta expresión se simplifica a 2 coseno de teta y eso como vas a ver en unos momentos es más interesante de lo que te imaginas entonces vamos a hacer la sustitución x igual a 2 x seno de teta y si x es igualados por seno de teta entonces de x es igual a 2 por coseno de teta de teta y bueno si x es igual a 1290 entonces esta cosa de aquí como acabamos de ver es igual a dos cosas beteta ok esto de aquí es igual a 2 coseno beteta hicimos todo esto imaginándonos este triángulo rectángulo y luego utilizamos las definiciones de seno y de coseno pero de cualquier forma si en algún momento decidió hacer esta sustitución la consecuencia inmediata es que la raíz de 4 - x cuadrada tiene que ser igualados por coseno de teta hockey y para llegar a eso simplemente sustituye es el 2% o beteta aquí en esta x y utilizas algunas identidades trigonométricas y listo te queda 2 x coseno beteta pero bueno eso no lo vamos a hacer por el momento más bien vamos a saltarnos lo íbamos a seguir con esta integral que está súper padre porque ahí tenemos está integral y este 1 de x lo tenemos por aquí de x es 2 por coseno de teta de teta entonces vamos a ponerlo por aquí dos coseno detecta de teta y esta raíz de 4 - x cuadraban es otra vez 2 por coseno de teta aunque 2 por coseno de teta y esto está súper padre porque esto es simplemente un 1 y entonces toda la integral se simplifica a de teta que si lo evaluamos en este intervalo indefinido éste está más una constante y pues esto está bastante padre pero pues teníamos aquí una integral en términos de x y nos gustaría obtener un resultado en términos de x y no en términos de esta teta que pues la verdad otras personas no saben a qué nos referimos contenta si no ven todo lo que hicimos por aquí no hay ningún problema porque podemos escribir a teta en términos de x-trade tenemos que x es igual a dos porsche no vete te vamos a escribirlo por aquí otra vez x es igual a 2 por seno de teta dividimos entre 2 y obtenemos que x entre 2 es igual a seno detecta recuerda que ahora lo que queremos despejar este está y esto nos está diciendo que teta es el ángulo al cual si lo evalúa sense no te queda x entre 2 entonces podríamos decir que teta es la función inversa de seno se no función inversa evaluada en x entre 2 evaluada en x entre 2 pero esta función inversa de seno tiene su nombre arco seno y la queremos evaluar en x entre 2 para obtener theta así es que esta integral de aquí es igual teta es igual a arco xenón de equis entre dos más una constante y listo ya terminamos acabamos de evaluar a esta integral indefinida ahora por aquí hay algunos detalles de los que tal vez te diste cuenta tal vez no pero hace muy rápido por aquí para no perder el hilo de la idea pero hay algunos detalles muy interesantes a los cuales les tenemos que prestar atención aquí el dominio de x está restringido y sería una excelente idea ver paso por paso qué pasa con el dominio de x cuando hacemos esta sustitución para estar seguros de que no estamos haciendo nada extraño porque entonces vamos a verlo aquí el dominio de xy vamos a ponerlo por aquí x tiene que ser mayor que menos 2 y menor que 2 porque si el valor absoluto de x fuera exactamente igual a 2 2 al cuadrado es 4 y aquí tendríamos un cero en el denominador que no puede suceder ok no podemos dividir entre 0 y si el valor absoluto de x fuera más grande que 2 entonces estaríamos sacando la raíz de un número negativo osea tendríamos un número imaginario y tampoco podemos hacer estas integrales entonces esto de aquí es nuestro dominio y queremos ver que esta sustitución no hace cosas extrañas con este dominio aunque tenemos que x está entre menos dos y dos y x es igual a dos por seno de teta eso lo que significa es que dos porsche no detectan tiene que estar entre dos y menos dos y bueno aquí tenemos muchos dos podríamos dividir todo entre dos y lo que nos queda es que un menos uno es menor que seno z lo cual tiene que ser menor que 1 y para que eso suceda podemos decir que teta es menor que pi sobre 2 y mayor que menos pi sobre 2 si ésta cumple con estas desigualdades entonces seno de teta también y por lo tanto x también ok senodep y medios es 1 seno de menos y medios es menos 1 y entonces estamos restringiendo el dominio detecta y de x de una forma muy razonable y además funciona súper bien porque el dominio de la función arco seno es justo este de aquí de menos y medios up y medios así es que por lo menos con respecto a ese detalle nos podemos sentir muy bien ahora otro detalle por aquí estamos dividiendo entre dos coseno beteta y eso no tiene ningún problema a menos de que cose no detecta sea igual a cero en algún punto de nuestro dominio porque no podemos dividir entre pero lo bueno es que mientras theta sea mayor que menos pi medios y menor que prime dios coseno detecta va a ser distinto de cero lo que hay de hecho va a ser positivo si admitiéramos pi medios o menos pi medios dentro del dominio entonces coseno de teta si sería igual a cero y tendríamos que pensar en alguna otra forma de restringir el dominio pero no los estamos agregando en el dominio así es que todo parece estar súper bien entonces teníamos aquí una integral encontramos una substitución muy conveniente y llegamos a esta respuesta y luego nos fijamos en estos detalles que surgieron pero todo está muy bien con estos detalles así es que nos podemos sentir bastante bien con esta respuesta