Sustitución trigonométrica con la función tangente

bueno pues este vídeo va a ser muy entretenido porque voy a resolver está integral la integral de 1 entre 9 x cuadrada todo esto multiplicado por el diferencial de x y nosotros ya sabemos que cuando tenemos la forma cuadrada - x cuadrada hacemos un cambio de variable usando una sustitución trigonométricas de x igual a veces el seno de teta sin embargo en esta ocasión tenemos algo de la forma cuadrada más x cuadrada por lo tanto cuál va a ser mi cambio de variable en este tipo de ocasiones el mejor cambio de variable que yo puedo hacer es decir x es igual a la constante a que multiplica a la tangente del ángulo theta bueno pues vamos a ver que nos queda si hacemos el cambio de variables nos va a quedar a cuadrada masa cuadrada tangente cuadrada de teta que es lo mismo factor izando en la cuadrada cuadrada que multiplica a 1 más la tangente cuadrada de teta y todo esto de aquí bueno de hecho se lo podemos probar eso es lo mismo que a cuadrada que multiplica al coseno cuadrado de teta entre el coste no cuadrado de teta coseno cuadrado entre coser un cuadrado me da 1 y la tangente cuadrada de teta es lo mismo que el seno cuadrado de teta entre el cochino cuadrado de teta por lo tanto tenemos el mismo denominador y los podemos sumar entonces me va a quedar a cuadrada que multiplica al coseno cuadrado más el seno cuadrado de t está entre el coseno cuadrado de teta pero el coche no cuadrado de teta más el seno cuadrado de teta es lo mismo que uno por lo tanto simplificando todo esto me va a quedar que es lo mismo que a cuadrada que multiplica a la secante cuadrada de teta y es justo a donde tenemos que llegar entonces pues ya que tenemos esta expresión lo que se me ocurre es hacer mi cambio de variable y cuál va a ser mi cambio de variable pues el denominador es 9 más x cuadrada que lo podemos escribir como 3 al cuadrado más x cuadrada y aquí ya tengo que a vale 3 por lo tanto x va a ser igual haciendo mi cambio de variable a tres veces la tangente de teta y bueno si nosotros metemos x es igual a tres veces la tangente de teta lo primero que sería muy bueno ser sería despejar a teta por lo tanto voy a pasar el 3 dividiendo y me queda que x entre 3 es lo mismo que la tangente de teta y si yo paso la tangente del otro lado de la ecuación me queda que el ángulo teta es el arco tangente de x entre 3 y muy bien ya tenemos la teta ahora lo que necesitamos es el diferencial de x y para eso lo voy a calcular de aquí el diferencial de x ya visto en su forma diferencial me queda que es 3 veces y la derivada de la tangente de teta con respecto a teta es lo mismo que la secante cuadrada de teta diferencial de teta y bueno ahora sí ya tengo todo lo necesario para poder sustituir en esta integral haciendo mi cambio de variable me queda uno por la diferencia del x por la diferencia el x es tres veces la secante cuadrada de teta diferencia el dt está entre 9 más equis cuadrada y 9 más x cuadrada pues ya lo podemos ver de una manera mucho más sencilla con el resultado que obtuvimos hace rato 9 más x cuadrada es lo mismo que a cuadrada secante cuadrada de teta pues sería lo mismo que poner el cambio de variable x igual a tres veces gente de teta y haciendo todas estas supersticiones me quedaría el final 9 que multiplica a la secante cuadrada de teta por lo tanto esto iba de color magenta y lo voy a escribir aquí me queda que a cuadrada es nueve veces la secante cuadrada de teta y sé que tal vez me salte algunos pasos pero estoy ahorrando tiempo para no poner aquí 999 y sumarle un 9 y factorizar el 9 y después sacar el 9 por aquí y entonces al final llegar a todo esto que ya habíamos calculado que era a donde llegaba mi cambio de variable y ahora si ya tengo secante cuadrada que está multiplicando y secante cuadrada que está dividiendo por lo tanto se cancelan y me queda que esto es lo mismo que un tercio por la integral un tercio porque es lo mismo que 309 por la integral de la diferencial de teta y cosa más sencilla es lo mismo que un tercio por teta más mi constante de integración y bueno ya casi acabamos ahora lo que hay que hacer es la sustitución hacia atrás de esta es igual al arco tangente de x entre 3 por lo tanto me queda un tercio del arco tangente de y entre tres más una constante de integración y hemos acabado esta integral y qué bueno porque ya con esto hemos creado armas para resolver integrales de este estilo y además el día de hoy resolvimos integrales de esta forma cuadrada más x cuadrada haciendo una sustitución de econométrica entonces cada vez que no funcione una sustitución normal piensa en que tal vez puedes utilizar una sustitución trigonométricas para resolver las integrales y también encontrar la solución del problema así que nos vemos en el siguiente vídeo