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Curso: Cálculo, todo el contenido (edición 2017) > Unidad 5

Lección 2: Cambio de variable

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Calentamiento sobre el método de cambio de variable

Google Classroom

Antes de sumergirnos en nuestro ejercicio de práctica, adquiere un poco de experiencia en el método de cambio de variable.

Encuentra cada integral indefinida.

Problema 1

\int \cos (x^{2}) 2 x d x =

+ C

Observa que

2 x

es la derivada de

x^{2}

. Si hacemos

u = x^{2}

, entonces

d u = 2 x d x

, y podemos sustituir para obtener una integral más sencilla.

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = \int \cos (u) d u

Ahora podemos encontrar la antiderivada:

\begin{aligned} = \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C & Sustituye u de regreso. \end{aligned}

Así,

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = \sin (x^{2}) + C

.

Para verificar nuestro trabajo, podemos diferenciar

\sin (x^{2}) + C

.

Problema 2

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x =

+ C

Observa que

3 x^{2}

es la derivada de

x^{3} + 3

. Si hacemos

u = x^{3} + 3

, entonces

d u = 3 x^{2} d x

, y podemos sustituir para obtener una integral más sencilla.

\begin{aligned} \int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x & = \int \frac{1}{(x^{3} + 3)^{2}} \cdot 3 x^{2} d x \\ = \int \frac{1}{u^{2}} d u \end{aligned}

Ahora podemos encontrar la antiderivada:

\begin{aligned} = \int \frac{1}{u^{2}} d u \\ = - \frac{1}{u} + C \\ = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C & Sustituye u de regreso. \end{aligned}

Así,

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C

.

Para verificar nuestro trabajo, podemos diferenciar

- \frac{1}{x^{3} + 3} + C

.

Problema 3

\int e^{4 x} d x =

+ C

Problema 4

\int x \cdot \sqrt{\frac{1}{6} x^{2} + 1} d x =

+ C

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Karime Guadalupe Cen May
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “me confunde el problema 4...” de Karime Guadalupe Cen May
me confunde el problema 4
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- Urquiza Maldonado Ariel Alejandro
  Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “no te confundas...” de Urquiza Maldonado Ariel Alejandro
  no te confundas
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Esperanza Guadalupe Loria Cruz
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “¿Por qué en el problema 2...” de Esperanza Guadalupe Loria Cruz
¿Por qué en el problema 2 como resultado de integrar nos da -1/u + C?
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- Adolfo SB
  Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “a mi también me confundió...” de Adolfo SB
  a mi también me confundió mucho eso debido a que se come pasos. Lo que a mi me pasó fue que al momento de integrar u^-2 se me olvidó dividir -1 siguiendo la regla de la potencia recuerda que (x^n+1)/(n^+1) en este caso fue (u^-2+1)/(-2+1) después invertimos para des hacer la potencia negativa y nos queda el signo negativo de la base inferior (dividendo) = -1/u espero ayudar a quien sea que haya tenido la misma duda :D
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tavo04.gr
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Me confunde el pronlema 2...” de tavo04.gr
Me confunde el pronlema 2
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ardonkeily9
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “El promeblema 3 me confun...” de ardonkeily9
El promeblema 3 me confunde lo hice de otra manera más diferente!
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xxeduxx280
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Problema 4:alguien me pue...” de xxeduxx280
Problema 4:alguien me puede explicar por que x/3 se convierte en 3?
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- Mtra. Marina Orea
  Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “porque en la integral ori...” de Mtra. Marina Orea
  porque en la integral original tenemos x dx....entonces el 3 que esta dividiendo pasa multiplicando a du
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Rubio Roman Cinthia Lizbeth
Publicado hace hace 6 meses. Enlace directo a la publicación “Me confunde mucho el prob...” de Rubio Roman Cinthia Lizbeth
Me confunde mucho el problema 4
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martinez.johanyamil.2021
Publicado hace hace 6 meses. Enlace directo a la publicación “No sean webones y no le d...” de martinez.johanyamil.2021
No sean webones y no le den click a muestrame la solucion por favor
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