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Transcripción del video

el boden y nos manda a este problema en el foro de khan academy de facebook el problema me pareció de un interés general y por lo tanto vamos a resolverlo el problema dice algo así tengo la integral de 2 elevado a la logaritmo natural de x todo esto dividido entre x y todo esto multiplicado a su vez por el diferencial de x y ahí mismo en el foro el usuario africana nos planteó una solución la cual es correcta sin embargo el problema me pareció tan interesante que lo quiero resolver yo también bueno pues tenemos esta integral y como lo resuelvo lo primero que me doy cuenta es que esto lo puedo escribir la siguiente manera esto se ve un poco feo y así se va a ver más claro tengo la integral de uno entre x que multiplica a 2 elevado a la logaritmo natural de x diferencial de x y por qué hago esto porque yo sé que la derivada del logaritmo natural de x es uno entre x por lo tanto lo voy a escribir aquí con respecto a x del logaritmo natural de x es igual a 1 entre x que es justo la función que tengo aquí al lado por lo tanto es justo en este momento cuando se me ocurre que esta integral a puede resolver por sustitución u y bueno tú puedes ponerle cualquier nombre que tú quieras tú puedes decir la sustitución o la s sustitución pero por convención se usa y bueno voy a llamar a igual a logaritmo natural de x porque es la función a la cual está elevada el 2 y eso es porque tenemos la derivada multiplicando y bueno por lo tanto si derivamos aún con respecto a x esto es lo mismo que 1 / x esto ya lo sabíamos y si lo ponemos en forma diferencial me queda que la derivada de v es igual a 1 entre x diferencial de x y es justo esto lo que voy a utilizar porque aquí ya hay muchas cosas que podemos ver esto es lo mismo que la integral y aquí que voy a escribir al 2 elevado a la logaritmo natural de x pero el logaritmo natural de x acabamos de llamar o por lo tantos 2 elevado a la 1 y por otro lado tengo uno entre x que multiplica el diferencial de x que esto es diferencial de un este y este va a ser diferencial de v y lo voy a poner con otro color muy bien vamos a empezar a hacer esto colorido y ahora que se me ocurre a bueno yo lo que sé es que esta integral se parece muchísimo a unas integrales que yo ya sé resolver que son las integrales de la función exponencial por lo tanto la idea que voy a utilizar es tratar de resolver esto por la forma de la función exponencial al final tanto lae como el 2 son números aunque la es un poco más irracional pero bueno lo que sí sé es la integral del elevado en la x lo voy a escribir aquí la integral de elevado al x diferencial de x es lo mismo que el elevado a la x más una constante integración entonces seguramente tú me vas a decir pues ya acabamos esto es lo mismo que 2 elevado la umma es una constante integración sin embargo ten cuidado porque si ponemos eso de solución estaríamos cometiendo un grave error y ahorita tras dar cuenta porque lo que voy a hacer en este caso es escribir el número dos en base y como escribo el número dos en base a bueno pues el 2 es lo mismo que él a logaritmo natural de 2 porque la función exponencial y la función aritmos se cancelan y entonces lo que daría que he elevado a la logaritmo natural de 2 pues de simple y sencillamente 2 y de hecho acabamos de encontrar una manera alternativa para escribir cualquier número cualquier número es lo mismo que he elevado a la logaritmo natural de ese mismo número y bueno ya que tengo esta información entonces voy a sustituir a 2 entonces me quedan aquí lo voy a poner que esto es lo mismo que la integral de quien bueno de elevado a la logaritmo natural de 2 todo esto es el 2 que tengo aquí y esto a su vez está elevado a la 1 y todo esto diferencial de un muy bien y ahora el siguiente paso es multiplicar el logaritmo natural de 2 por 1 porque hay una ley de los exponentes que dice cuando tenemos un elemento algebraico elevado a una potencia y después todo eso elevado otra potencia las potencias se multiplican y es lo que voy a utilizar en este caso por lo tanto me va a quedar la integral de elevada a la logaritmo natural de 2 por un diferencial de v esto por la ley de los exponentes que les acabo de mencionar recuerden que las potencias pasan multiplicando y todo esto diferencial de un y bueno ahora lo que quiero que se den cuenta para el siguiente paso es que tenemos un logaritmo natural de dos que están multiplicando a la 1 por lo tanto no podemos resolver esta integral luego luego es muy parecida a ésta solamente hay que tener cuidado porque la diferencia es que no lo puedo hacer directo no puedo ser directo porque me estorba el logaritmo natural de 2 es decir una constante entonces yo voy a recordar una fórmula alternativa que decía así la integral de elevado a la que multiplica a un diferencial de 1 es lo mismo que uno entre a que multiplica al elevado a la elevado a la más una constante de integración y esto es porque si derivamos elevado a la 'u' me queda am y se multiplicó a por uno entre a me da uno y por lo tanto ya tengo el anti derivada y justo esto es lo que voy a utilizar porque es una constante entonces me va a quedar que tengo que poner uno entre esa constante que en este caso es el logaritmo natural de dos entonces me queda uno entre el logaritmo natural de dos que multiplica ha elevado bueno primero va a estar elevado a la función y nunca hay que olvidarla porque esa es nuestra variable de integración por lo tanto es lo primero que voy a poner y después también tenemos que estar x am pero a en este caso era el logaritmo natural de 2 por lo tanto voy a poner el elevado la que multiplica a logaritmo natural lo único que hice fue cambiar la multiplicación no hice nada raro y bueno a todo esto hay que agregarle una constante de integración y al menos ya tengo la integral ya por fin resolví la integral pero lo tengo en términos de un entonces antes de pasar todo en términos de muy variable original que en este caso era la variable x lo que voy a hacer es fijarse bien aquí porque puedo escribir esto de una manera mucho más sencilla voy a recordar una propiedad de los logaritmos que desea algo así esta ley de los logaritmos dice que a x el logaritmo natural de b es lo mismo que el logaritmo natural de b elevado a la i en este caso tengo algo similar tengo u que multiplica a logaritmo natural de 2 y bueno pues esto sanz nuestra misma ley de los logaritmos me queda que es lo mismo que el logaritmo natural de 2 elevado a la 'u' por lo tanto voy a usar esa propiedad y me queda que esto es lo mismo que uno entre el logaritmo natural de 2 que multiplica a elevado a la logaritmo natural de 2 elevado a la u esto por la propiedad que acabo de ver más una constante integración y bueno escribí esto de esta forma porque él voy a modificar lo que quiero que piensen ahorita es cuál es el término el cual es igual ha elevado a la logar de natural de 2 elevado a su vez al agua y esto es ni más ni menos que 2 elevado a la uv esto lo vimos hace ratito lo tenemos aquí arriba y es la misma propiedad entonces me queda uno entre el logaritmo natural de 2 que multiplica a 2 elevado al agua esto por lo que acabamos de ver acá arriba no lo olviden lo voy a escribir aquí a es lo mismo que elevado a logaritmo natural de a y ya es cualquier número es una forma alternativa de escribir cualquier número por lo tanto en este caso es el 2 y bueno me queda esto más una constante de integración y ya acabamos no no hemos acabado hay que regresar todo a la variable original es decir hacer la sustitución hacia atrás y para eso lo que necesito hacer es escribir en términos de x pero es igual a logaritmo natural de x por lo tanto esto es lo mismo y ahora sí para poner la respuesta correcta voy a escribir todo yo tenía que la integral de 2 elevado a logaritmo natural de x todo esto entre x diferencial de x es igual y ahora si me queda que va a ser igual a 1 entre el logaritmo natural de 2 1 entre el logaritmo natural de 2 y sustituyendo aún me queda que esto multiplica a 2 que está elevado a logaritmo natural de x más una constante de integración y ya está hemos resuelto este problema así que muchas gracias a voten y por mandarnos este problema y los invito a que sigan mandando problemas en los foros de cannes academy