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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que quiero realizar en este vídeo es hablar de continuidad y continuidad en una función es algo que es súper fácil de identificar a verlo pero también vamos a hablar más adelante cómo podríamos definirlo más rigurosamente y es que cuando digo que es realmente fácil de reconocer para que te queda más claro también a ti dibujemos algunas gráficas de funciones por aquí y bien este sea nuestro eje de la yeza ahora dibujemos nuestro eje de las x íbamos a dibujar una función una función que se venía comportando algo así parte desde aquí y continúa continúa más adelante de esta forma luciendo así y este intervalo abarca desde aquí del cero hasta este punto de acá y ahora la pregunta sería esta función continúa y tuberías no pues no lo es pues mira aquí sobre lo que vemos de la función pinta de repente de este punto a éste de acá entonces no es continua entonces esto no es continuo es continua y podrá así incluso decir que tenemos una discontinuidad en este valor que vemos aquí podríamos llamarlo como una discontinuidad de salto entonces tú puedes muy bien decir esto no es continuo y es un tanto había dado que estas partes no hacen conexión de ninguna forma entonces similarmente si ahora quisiéramos realizar otra función otras funciones de nuestro eje de las leyes este va a ser nuestro eje de las x y nuestra función se va a comportar de la siguiente forma sale a partir de aquí viene hacia arriba aquí tenemos una estación definido y el punto que tenemos por acá arriba y ahora viene la misma pregunta es esta función continúa sobre el intervalo que hemos dibujado y también me dirías no no lo es porque la función en este punto sube y de esta forma es un tipo de discontinuidad así que esta es la discontinuidad a la cual nosotros podríamos llamarle desmontable gobierno aquí mejor conocida como una discontinuidad evitable y podríamos decir que este argumento de evitables porque redefiniendo la función no no presida discontinúa tener este punto este punto al tenerlo relleno aquí abajo tendríamos ya una función completamente continúa así que lo que podría hacer es remover dicha discontinuidad pero bueno finalmente vamos a mencionar íbamos a dibujar otra función así que déjame dibujar el eje x y este es el eje de las leyes la función va a venir definida de cierta forma aquí y entonces aquí la pregunta es la misma no esta función es continúa y entonces tú me podrías argumentar que sí pues es continua en todos y cada uno de sus puntos que se encuentran dentro de la parte de la lógica de la función y si hubiera algo fuera de ella pues no se ha continuado así que tú estarías en lo correcto y en general este es el gran sentido de la continuidad y yo creo que si tuvieras otra gráfica podría identificarlo rápidamente pero vamos a pensar en algo más estricto riguroso para definirla y pues recordando cuando nosotros entramos una forma rigurosa con las definiciones de límites de epsilon si del tas esta definición nos podría ayudar para comprender mejor el tema de continuidad y para crear esto la definición más rigurosa de continuidad vamos a pensar en alguna función que que tenga algunos intervalos entonces vamos a trazar nuestra gráfica y aquí vamos a tener lo vamos a dibujar por acá y vamos a tener el eje de las calles nuestras calles y por acá nuestro eje de las x y si observas un poco estas gráficas que tenemos por acá estamos dentro de algunos intervalos para marcar de qué punto qué punto iban entonces aquí vamos a marcar nuestro intervalo de la función y éste sería el extremo final nuestros ejes y ahora vamos a trazar nuestra dicha función que va a ir de cada extremo del intervalo entonces se comporta algo así y podríamos decir que dichas funciones continúa ahora vamos a agregar un punto interior en dicha función que no cumple exactamente con el tamaño de los bordes y dicho punto interior aún así está dándole un efecto continúa nuestra función entonces nosotros podríamos llamar que dicha función es continúa en el punto en el intervalo y ahora bien lo que esto nos está diciendo es que el límite el límite cuando x aproxima hace vamos a llamarles se ha dicho punto que nosotros trabajamos en nuestra función entonces el límite el pdf de x donde fx es la función que nosotros pasamos por aquí he dicho límite cuando x aproximada se nos va a ser igual a un fdc lo que estamos diciendo es que dicho punto o bien fdc en la gráfica que ese límite se estará aproximando a ésta y es lo mismo que el valor en la función lo que esto ya hace un gran sentido y ahora ya pensando o imaginando dicho contexto podría pasar algo parecido hablando en cuanto a continuidad y bueno en este caso digamos que nuestro se va a ser este punto de por acá y esto va a hacer efe de c y bueno en este caso el límite de fx cuando x aproxima hace sea igual hace estaríamos pidiendo que dicho límite se acercará por la parte derecha por la posición positiva de este lado de la gráfica para que nos diera cierto límite que nos diera que esto es igual y ferb s pero bueno esto no es igual cuando decimos que el límite de fx cuando x aproxima hace por la izquierda no nos va a dar que esto sea igual al fbi por dicha razón esta función no es continua puesto que todo el límite debería de ser igual a fcc hablando en cuanto a las dos direcciones y pues éste no es el caso entonces esto no nos muestra lo que nosotros queríamos lograr con nuestra definición formal lo cual es bueno porque nosotros visualmente identificamos que dicha función no era continua y pasando de este lado y borrando el punto que habíamos marcado y entonces aquí aquí vemos nuestro límite primero vamos a definir que por aquí tenemos nuestro punto c y el límite de fx cuando x aproximase digamos que es igual a él y es que aquí hay que mirar ciertos aspectos aquí tenemos donde no está definido entonces va a ser el nuestro punto clave se encuentra arriba entonces él y nunca va a ser igual a fcc puesto que nosotros podemos visualizar fdc hasta acá y entonces una vez más vemos que éste no cumple con nuestra prueba de continuidad pues el límite de fx no es igual a efe por lo que una vez más no pasa nuestra prueba y bueno en nuestro último caso aquí si nuestra prueba va a pasar completamente puesto que todos los puntos están bien definidos para nuestra función en su intervalo lo cual también es bueno porque desde el principio nosotros habíamos acertado que dicha función era continua pero bueno ahora vamos a dar una definición de lo que hemos estado nosotros hablando de acuerdo a nuestros ejemplos así que esta es una función continua para un punto interior y vamos a pensar en continuidad la continuidad en el punto interior lo vamos a ir por acá abajo pues estamos hablando de continuidad y había puesto aquí que con respecto al borde preparando confundirlo con el límite vamos a poner lo que es al final del punto al final del punto c entonces primero vamos a considerar el lado izquierdo del punto final así que si nosotros tuviéramos el punto final y nos fijamos su lado izquierdo cómo vamos a empezar a hablar de esto me gustaría graficarlo para que se vea un poco más claro mi eje x ni geie y ahora tenemos por acá el punto inicial de nuestro intervalo y éste nuestro punto final entonces dibujando nuestra función sobre este intervalo que luce así y luce la función algo así nosotros estamos hablando de nuestro punto izquierdo pensando en lo siguiente que nuestro punto se inicia aquí y este es el punto final izquierdo y hablando de esto vamos en cuanto a continuidad la continuidad en celo que nos diría lo que significaría sería que el límite de fx cuando x aproxima a se puede inclusive acercarse del lado derecho más no del lado izquierdo entonces nosotros podemos acercarnos por la derecha y aproximarnos a fcc y bueno esta es una especie de aproximación en cuanto a una dirección nosotros podemos decir que estábamos haciendo algo parecido a lo que hicimos por acá pero en este caso estamos aproximándonos simplemente en una sola dirección a nuestro punto que tenemos por aquí que sería en esta dirección y en conclusión podemos nosotros determinar qué ese punto es continuo ahora también podríamos pensar en donde el punto no fuera continuo en dicha situación y entonces vamos a hacer la gráfica para que luzca de una mejor forma este es nuestro eje llenes trueque x y nuestra gráfica va a estar dentro de este intervalo y se comporta de la siguiente forma que tenemos el punto aquí está indefinido y la gráfica viene algo así entonces podríamos decir que tenemos una especie de discontinuidad evitable o visualmente podemos decir que es eso y entonces aquí lo que pasaría es que la prueba no se completaría pues el límite si la próxima moss hace del lado derecho lo que tenemos es el fbi se encuentra en la parte superior donde se estaba definido el punto entonces aunque nos acercamos por el lado derecho esta función no será continua y bueno ahora podemos imaginar qué podría pasar si nosotros dibujamos el punto y dijéramos que es continua por la derecha en el punto c así que qué les parece si también lo dibujamos se queme tardó un poquito haciendo esto de las gráficas pero es para que quede mucho más claro a la vista entonces aquí tenemos nuestro eje x este es nuestro eje llegue y aquí tendremos nuestro intervalo para dicha función y en este caso nuestro punto se se va a encontrar en este extremo y podemos decir bueno aquí nuestra función aquí en este caso cuando x es igual hace y en este caso nosotros nos podemos acercar a nuestro punto importante por la izquierda entonces el límite de fx cuando x aproxima hace aquí lo tenemos que aproximar por la izquierda y entonces sí decimos esto entonces estamos contemplando que es continua en ese sentido en esta dirección hacia el punto c y viceversa que es lo que hicimos en la situación anterior pero puede otro extremo y éste fue en nuestro extremo derecho finalmente la continuidad no es realmente complicado entender pues la idea es donde quiera que tú veas que la función está brincando teniendo una especie de espacio o brecha realmente intuitivo ver que ahí no hay una función con continuidad puesto que no está conectada así que en este vídeo utilizamos lo que ya sabíamos de límites para tener una mejor definición y rigurosa en cuanto a continuidad