Límites en infinito de cocientes con raíz cuadrada (potencia impar)

digamos que tenemos una función fx y fx va a ser igual a x sobre la raíz de x cuadrada más 1 y me gustaría que pensemos acerca de cuál sería el límite de fx el límite de fx cuando x se aproxima a infinito pero también cuando tenemos el límite de fx pero x se aproxima a menos infinito y lo vamos a realizar pero primero que todo esto no es una forma muy rigurosa de realizar las cosas pero de forma intuitiva vamos a pensar en qué tanto se aproxima a un valor dichos límites y todo esto depende de los valores que vaya tomando x pueden ser valores muy muy grandes hablando positivamente o también números negativamente grandes entonces lo haremos para cuando x se aproxima a más infinito y cuando x se aproxima a menos infinito ahora bien si observamos el numerador nosotros únicamente tenemos un término que es x en el denominador tenemos dos términos dentro de la raíz que está por aquí entonces conforme x tome valores muy muy grandes tanto positivo como negativamente al tener la x cuadrada realmente va a dominar a este uno que tenemos por acá entonces no nos va a afectar mucho que digamos que esto aproxima a hacer x sobre la raíz de x cuadrada claro que esto es válido pero para cuando x aproxima valores muy grandes para que domina este uno que tenemos por aquí entonces ahora que tenemos esto de aquí que converja a esta a esta expresión también podemos decir que al calcular la raíz de x cuadrada podemos tener dos raíces la raíz positiva y la raíz negativa entonces esto es equivalente a que pongamos aquí que sería el valor absoluto para cuando x se aproxima a valores muy grandes o también valores muy grandes pero hablando negativamente y otra forma de decir esto u otra forma de expresar lo es restableciendo la siguiente expresión entonces nos quedaría que sería igual cuando x se aproxima a infinito de x sobre el valor absoluto de x y bueno ahora cuando x toma valores positivos el valor absoluto simplemente nos deja la misma expresión entonces sería como dividir un número sobre sí mismo que sería igual a 1 y en el caso de cuando x se aproxima menos infinito en la parte superior en la del numerador nos va a quedar un término negativo dividido sobre un término positivo por lo tanto esta expresión de aquí va a hacer un número sobre sí mismo pero negativamente entonces esto va a ser igual a menos 1 es simplemente algo muy similar a lo que realizamos arriba es dividir un número sobre sí mismo sólo que en este caso la función del valor absoluto si afecta a nuestro límite entonces es igual a menos 1 y ahora bien tenemos estas dos expresiones y podemos utilizarlas para graficar entonces aquí tenemos nuestro eje de las yes y por acá vamos a tener nuestro eje de las equis y con la cual vamos a tener dos asín totas horizontales pues tenemos una cinta horizontal para cuando llegue es igual a 1 por aquí tenemos que este valor pertenece aquí a igual a 1 y vamos a dibujar nuestra sin tota y luego por acá vamos a tener la otra sin tota horizontal para cuando es igual a menos 1 también vamos a dibujar dicho valor para cuando es igual a menos 1 y ahora hay que visualizar este punto analizando cuando x es igual a 0 para ver desde donde partimos entonces efe de 0 va a ser igual a 0 sobre la raíz de 0 + 1 lo que es igual entonces vemos que partimos del origen nuestra gráfica cuando x se aproxima a infinito que va tomando valores muy muy grandes tiende a acercarse a dicha sin total para cuando hoy es igual a 1 pero espera creo que no lo estoy dibujando tan claramente me estoy extendiendo demasiado la gráfica se comportaría algo así para cuando x ha tomando valores cada vez mayores partimos del origen y lo voy a dibujar con otro color para que quede un poco más claro viene aquí se aproxima a igualdad a una nuestra sin tota horizontal y obviamente jamás la toca y luego entonces para cuando x se aproxima a menos infinito tendemos a aproximarnos de igual a menos 1 y luego entonces esto de aquí es igual a fx y podemos ir verificando todo esto dando valores en la calculadora y trazando todo esto con mayores puntos en una especie de gráfica dora o algo así pero bueno simplemente quiero abordar otra situación que es importante pues si te diste cuenta como el análisis que utilizamos aquí para simplificar nuestro límite fue ver qué valores dominan tanto en el numerador como en el denominador y verá que convergen este tipo de funciones y luego vienen trazar sus asín totales para los límites infinitos