Encontrar límites por medio de factorización (cúbica)

vamos a tratar de calcular el límite cuando x tiende a 1 de x al cubo menos 1 entre x cuadrada menos 1 y primero hay que notar que si sustituimos con x igual a 1 en esta expresión tendremos 1 al cubo menos uno que es 0 / 1 al cuadrado que es 1 menos uno y nos vuelve a dar 0 entonces nos da algo de la forma 0 entre 0 así que veamos si se puede simplificar este límite utilizando algunas herramientas algebraicas entonces esta parte de aquí de lo que estamos la función de la cual estamos calculando el límite lo podemos vamos a tratar de manipular la algebraica mente tenemos x al cubo menos 1 entre x cuadrada menos 1 entonces lo primero que tú puedes observar es que el denominador es una diferencia de cuadrados así que este fácilmente se puede sustituir por x menos 1 por x más 1 así es como lo podemos expresar como un producto de dos factores ahora bien el problema aquí es que tenemos en el denominador x 1 y que es el que nos está dando que al sustituir con 1 nos dé un 0 en el denominador así que nos pregunte es natural o al menos sería una buena pregunta ver si x al cubo menos 1 tiene un factor x menos 1 para que se cancele y ya no nos causen problemas muy bien entonces este es el que importa porque nos hace que quede 0 en el denominador cuando sustituimos con 1 así que vamos a ver si esto ocurre veamos si es posible dividir x cúbica menos 1 entre x menos 1 así que vamos a intentar esta división de polinomios que a lo mejor algunos ya están relacionados con ello y para no hacer mucho problema vamos a dejar aquí los dos los espacios de x cuadrada de x y aquí va la constante menos 1 muy bien entonces nos preguntamos cuántas veces cabe xx al cubo y esto es x cuadrada verdad x cuadrada por x es x al cubo menos 1 por x cuadrada es x cuadrada y ahora vamos a restar este de abajo así que simplemente invertimos los signos estos se cancelan y nos queda x cuadrada ahora cuántas veces cabe xx cuadrada pues cabe x veces verdad x x x x cuadrada y menos 1 por x es menos x nuevamente restamos y por lo tanto le cambiamos el signo estos estos se cancelan y nos queda x y bajamos el menos uno ahora cuántas veces cabe x menos uno en x menos uno pues una vez verdad entonces uno por x sx1 por menos uno es menos uno y si cambiamos los signos otra vez nos queda un residuo de cero y eso fue muy bonito porque entonces x al cubo menos 1 lo podemos expresar como x menos 1 que multiplica a x cuadrada más x + 1 ahora notemos que cuando x es distinto de 1 estos dos se pueden cancelar y por lo tanto esta expresión me queda como x cuadrada más x + 1 / x 1 entonces este límite de aquí será exactamente el límite cuando x tiende a 1 de esto que obtuvimos que es x cuadrada + x + 1 / x + 1 ok entonces este es muy agradable porque arriba y abajo ya nos dan cosas que son distintas de cero de hecho si sustituimos arriba con 1 nos queda 1 al cuadrado que es uno más uno más uno y esto nos da simplemente tres y este de abajo es uno más uno y nos da dos así que el resultado es tres medios