Remover discontinuidades (por factorización)

la función fx igual a 6x al cuadrado más 18 x más 12 entre x al cuadrado menos 4 no está definida en x igual a más menos 2 y podemos ver por qué es eso resulta que si ponemos el valor x igual a más menos 2 y sustituimos por x igual a más menos 2 entonces x al cuadrado menos 4 sería 0 más menos 2 al cuadrado en cualquiera de los dos casos nos da 44 menos 40 y no tenemos definido lo que significa dividir entre 0 así que esta función no está definida en más menos 2 qué valor debe ser asignado a efe de menos 2 para que fx sea continua en este punto así que qué valor le podemos dar a efe de menos 2 para que la función sea continua en menos 2 pues antes que nada quiero simplificar un poco la expresión de la función lo primero que noto es que puedo factorizar un 6 el numerador y escribirlo como 6 por x al cuadrado más 3 x 2 todo eso dividido entre x al cuadrado menos 4 ahora bien esto es lo mismo que 6 x y si me fijo en este polinomio de grado 2 en x al cuadrado más 3 x + 2 y lo quiero factorizar lo que necesito son dos números cuyo producto hacia dos y se sumase a tres esos números son muy fáciles de encontrar y son 2 y 1 así que esto sería lo mismo que 6 por x + 2 x x + 1 si expanden si expande en este caso verde llegarán a este polinomio de acá ahora en el denominador tengo una diferencia de cuadrados que puedo factorizar como x + 2 x x menos 2 ahora bien si x no es menos 2 entonces puedo dividir entre x más 2 el numerador y el denominador y en efecto cancelar estos dos términos y decir que esto es igual a 6 veces x + 1 / x menos 2 y esto vale si x es distinto de menos 2 de hecho tampoco vale si x es igual a 2 positivos así que puedo decir si x es igual a más menos 2 si aquí eso es igual a 2 positivos entonces el denominador de nuevo sería 0 lo cual no es bueno así que esta nueva función esta función coincide con mi función original en todos los puntos salvo en x igual a más menos 2 pero esta función de aquí toma exactamente los mismos valores que fx cerca de más menos 2 en particular cerca de menos 2 no importa podría ser menos 2.000 1 el valor de esta función coincidiría con el valor de fx y eso me permite afirmar que para que fx sea continua en menos 2 tiene que tomar el mismo valor que esta función en menos 2 esta función si está definida en menos dos y esa función en menos dos vale seis por menos dos más uno entre menos 2 - 2 lo único que hice fue sustituir x igual a menos 2 aquí y esto cuánto es pues sería menos dos más uno es menos uno así que el numerador sería menos 6 y el denominador sería menos dos menos 2 que sería menos 4 y esto me da tres medios así que para que la función efe de x sea continua en menos 2 efe de menos 2 debe valer tres medios o dicho de otro modo si defino una nueva función como fx lo voy a definir en cachos fx es igual a 6x al cuadrado más 18 x más 12 / x al cuadrado menos 4 si x es distinta de más menos 2 y fx va a valer tres medios x es igual a menos 2 entonces fx sería igual sería igual a la función 6 por x 1 / x2 y como esta función es continua en el valor de x igual a menos 2 y ahí vale 3 medios fx definida este modo también será continua así que la respuesta al problema es el valor que se le debe asignar a efe de menos 2 es 3 medios