Introducción al teorema del sándwich (antiguo)

en este vídeo te voy a probar que el límite cuando x tiende a cero de seno de x / x es igual a 1 pero antes de hacer esto antes de que me meta a trigonometría para probar este límite no era un aspecto relacionado con límites que es interesante este el teorema del sándwich una vez que entiendes el teo en el sándwich es fácil probar esto hay una explicación muy simple para entender esto y la vas a encontrar simple si es que agarra la explicación si no siempre es útil e importante memorizar este límite sobre todo posteriormente que veamos derivadas de funciones trigonométricas entonces qué es el teorema el sándwich y el teorema del sándwich es uno de mis favoritos en matemáticas porque tiene la palabra sándwich en el teorema del sándwich y cuando lo ves en un libro de cálculo yo no sé si es el cálculo pre cálculo pero bueno cuando tú lo ves en un libro de cálculo parece muy complicado pero lo que estipula es algo bastante obvia déjame darte un ejemplo si yo digo que yo sal siempre come más su mamá su mamá es mi esposa si te digo que esto es verdad sal siempre come más que un mamá y si también te digo sal siempre come menos no se dejaba inventar un nombre digamos vil y esto es para cualquier día digamos cualquier día sal siempre come menos perdón sal siempre come más que mamá y también cualquier día sal siempre come menos que bill entonces si te digo que el martes el martes obama comió 300 calorías y el martes bill comió 300 calorías mi pregunta es cuántas calorías sal comió comí el martes bueno siempre como más que un mamá más o igual que un mamá y siempre como menos o igual que bill por lo que el martes debí haber comido 300 calorías este es el meollo del teorema del sándwich y luego desarrollar formalmente un poco más pero lo que dice esencialmente es que si siempre soy mayor que algo y siempre soy menor que otro algo y en algún punto éstos coinciden entonces mi valor es igual al que ellos tienen estoy por así decirlo en el medio del sándwich estoy entre un mamá y billy si el martes ellos coinciden entonces mi valor debe ser igual al de ellos o por lo menos acercarse a él déjame plantearlo en términos matemáticos lo que se plantea en el teorema del sándwich es que sobre algún dominio si tenemos que gx es menor o igual a fx y menor o igual que hdx esto sobre algún dominio y si también sabemos que el límite deje de x cuando extiende a es igual algún valor digamos l y si también sabemos que el límite cuando x tiende a de hdx también es igual a l entonces el teorema del sándwich plantea y no lo va a probar aquí pero es bueno saber qué es lo que estipula el teorema del sándwich el teorema de sandwich estipula que entonces el límite cuando x tiende a de fx tiene que ser también igual a él y aquí podemos ver el ejemplo que planteamos donde esto es lo que come sal al día aquí tenemos lo que come o mama al día y aquí tenemos lo que come bill yo siempre como más que un mamá y menos que bill y entonces el martes puede decir que ésta es el martes su mamá comió 300 calorías y bill también comió 300 calorías entonces yo tuve que haber comido 300 calorías déjame hacer la gráfica demostrártelo gráficamente guatema otro color teorema del sándwich teorema del sandwich graphic hemos el punto y coma el entonces supongamos que aquí en el eje x tenemos el punto a este es el punto a y en el eje y el punto l entonces que de x es nuestra función menor debe ponerle aquí en verde aquí tenemos entonces que de x que ésta tiene aquí viene gx y sabemos que el límite cuando x tiende a dg x es igual a l aquí tenemos g de x entonces entonces esto es de x y déjame hacer ahora hdx con un color distinto ahora hdx se puede ver algo así algo como esto algo así esto es hdx y sabemos de hdx también que el límite cuando x tiende a dh x es igual a l aquí tenemos el eje el eje que corresponde en este caso a hdx y también a gdx afp x es el eje la variable dependiente y este acá es el eje x nuevamente el límite cuando x se aproxima a de hd x es igual a l hdx es igual a l o al menos se aproxima a l ahora suponiendo que bueno estas funciones no necesariamente tiene que estar definidas en a mientras estos límites existan mientras este límite exista y este límite también exista para que nos dice esta expresión nos dice que ft x siempre está arriba deje de x arriba esta función verde y es menor que hdx f x tiene que verse en este rango está acotada por esas dos funciones y va a tener que pasar por ahí va a tener que pasar por este punto o al menos se va a aproximar ese punto aunque no esté definida pero el límite cuando x tiende a df de x tiene que ser igual a ese punto a el f x no tiene que estar definida y pro límite cuando se aproxima vamos a de fx tiene que ser también el punto l espero que esto te ha hecho sentido y que mi ejemplo las calorías también te haya hecho sentido mantengamos en nuestra memoria entonces el teorema del sándwich y ahora vamos a utilizar eso para probar qué el límite el límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x es igual a 1 y quiero hacer esto porque es un límite super útil pero también porque cuando aprendes el primer sándwich dices bueno es obvio pero para qué me sirve esto y veremos de hecho lo hace el siguiente vídeo porque ya estamos cerca de los 8 minutos pero lo que veremos en el siguiente vídeo es que el teorema del sándwich es tremendamente útil para probar esto lo veremos en el siguiente vídeo