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Contenido principal
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Transcripción del video

supongamos que ese es el valor al cual esta serie con bergé vamos a suponer que esta serie de hecho con bergé en la definición de esta serie estamos suponiendo que cada término es una función que depende de n vamos a suponer que es una serie del mismo tipo de las que usamos cuando hicimos la prueba el integral es decir esta función es una función continua positiva y de creciente sobre el intervalo que nos interesa es entonces continúa positiva y decrecientes una función continúa positivo y decreciente déjame escribir lo mejor de la siguiente manera continúa positiva y de creciente como ésta el objetivo de este vídeo es ver si podemos establecer un rango para este valor lo cual es muy útil pues si bien hemos visto algunas series que convergen a un cierto valor hay muchísimas otras series que si bien con bergé no podemos determinar de manera analítica el valor precisó el cual convergen que vamos a tener que estimar por computadora o quizás a mano y es bueno contar con un rango de valores para que sepamos qué tan precisa es nuestra estimación queremos también obtener la mejor estimación posible con el menor número de cálculos veamos cómo podemos hacer esto la manera de abordar esto es como bien puedes imaginar separar esta suma en una suma finita digamos de los primeros cater minos desde que en es igual a 1 hasta acá df dn lo cual si eres pequeño y la forma de efe simple es fácil de calcular inclusive a mano o lo que es seguro es que esto de cualquier manera siempre se puede calcular con una computadora ya está tenemos que sumarle una serie infinita desde que n es igual a camas uno desde que en es igual a camas 1 hasta infinito de efe dn así es que si podemos establecer límites sobre esta serie esto nos va a permitir establecer límites sobre este valor pues este valor está constituido por la suma de la suma parcial de los primeros que términos más un término denominado remanente que al sumarlo con la suma parcial nos da el valor real digamos que es lo que resta después de que tomamos esa suma parcial es una manera más simple de notar este término la clave aquí es podemos establecer algún valor límite para esto y para eso voy a referirme a la gráfica y voy a utilizar las mismas ideas los mismos conceptos que empleamos para la prueba del integral para empezar hay dos maneras de conceptualizar lo que representa esta suma en relación a esta gráfica como veremos puede representar una sobreestimación del área bajo la curva desde cierto valor de x hasta infinito o también puede representar una subestimación de una región diferente relacionada con la curva veamos primero el caso cuando el área se está subestimando supongamos entonces que esté aquí es k de hecho deja de hacerlo con otro color voy a ponerlo en amarillo supongamos entonces que estés acá estés acá +1 estés camas dos de que ponerlo más cerca camas dos camas tres y así y así sucesivamente así que una manera de conceptualizar esta suma es como la suma de los siguientes rectángulos así es que el primer término corresponde a esta área el área del primer rectángulo pues como podemos ver aquí la altura de este rectángulo es/efe de camas uno es efe dec a más 1 y la base el rectángulo es uno así es que fedecámarás uno por uno es el área el rectángulo que corresponde precisamente al primer término cuando en es igual a camas 1 ahora el segundo término por el mismo razonamiento corresponde al área del segundo rectángulo el tercer término al área del tercer rectángulo y así podríamos seguir con todos los términos sucesivos y cuál es entonces la suma de las áreas de todos estos rectángulos que corresponde a la suma de estos términos bien podemos considerarla como una estimación como una estimación del área bajo la curva entre x igual acá y x igual infinito pero va a ser una subestimación observa que todos los rectángulos se encuentran contenidos dentro de esa región lo anterior quiere decir que entonces rr su carga va a ser menor o igual es una subestimación es una subestimación del integral desde x igual acá hasta x igual infinito de fx dx y con esto ya tenemos un límite superior para rdk y esto es interesante porque ahora ya podemos establecer que si ese es es igual a la suma parcial más se reduzca y el resultado es menor o igual a éste integral entonces ese es menor o igual a la suma parcial es su cara más más integral y propia desde que x es igual acá hasta que kiss es igual infinito de fx dx observa es igual a esto eres uca es menor que es integral y propio entonces es menor que la suma de estos dos términos así es que si podemos calcular el valor de estos dos términos que a menudo es posible hacerlo podemos poner un límite superior para el valor de s pero ahora cómo obtenemos un límite inferior bien podemos conceptualizar esta misma suma la misma rdk de tal manera que el primer rectángulo el primero de los rectángulos cuyas áreas vamos a sumar no es este de aquí si no es este rectángulo de acá observa tiene la misma altura pero lo hemos trasladado una unidad a la derecha este rectángulo representa el segundo término este de aquí representa el tercer término y así y porque esto también es correcto el área el primer rectángulo es la altura que es efe de camas uno también x su base que es uno lo cual nos da este de camas 1 así es que esta tarea corresponde al primer término el segundo término estaría representado por esta área este será el tercer término esta es la del cuarto término y como mencionamos una manera de considerar esto es que hemos trasladado todos los rectángulos que teníamos en amarillo una unidad a la derecha pero ahora estamos aproximando el valor de una región distinta estamos aproximando el área bajo la curva no desde acá hasta infinito sino desde camas 1 hasta infinito y en vez de ser una subestimación es una sobreestimación ahora el área bajo la curva está contenida totalmente dentro de los rectángulos así es que ahora podemos establecer qué resulta bajo esta perspectiva es mayor o igual a la integral no desde casino desde acá + 1 hasta el infinito de fx dx y esto que nos lleva bien aquí estamos estableciendo un límite inferior para esto lo cual también nos da un límite inferior para esto sí hemos encontrado que esto es mayor que esto entonces estoy aquí es mayor que esto sustituyéndola integral y propia ahora tenemos que entonces ese es mayor o igual a ese suka más integral y propia desde x igual acá más uno hasta x igual infinito de fx dx y aquí podría decir oye sal esto es una locura aquí tienes esta anotación extraña además aparecen más integrales que deben de ser muy complicadas de evaluar pero como veremos en próximos videos en muchas ocasiones estas integrales son simples de evaluar este término se evalúa directamente si acá no es muy grande si llegara a ser muy grande se hace con una computadora y éstas integrales quizás en ocasiones haya que evaluarlas médicamente pero en muchas otras ocasiones es posible evaluar las de manera analítica es decir usando lo que podríamos denominar el poder del cálculo y lo que estamos haciendo aquí es establecer límites precisos para el valor así el cual la serie con bergé y como veremos a medida que crece el valor de acá se hace mejor el valor de la estimación y el intervalo que contiene la estimación se va haciendo cada vez más pequeño otra manera de escribir estas dos desigualdades es como una desigualdad compuesta podemos escribir que ese es menor o igual que estoy aquí déjame copiar copiar esto y pegar ese es menor o igual que esto y también y también que ese es mayor o igual que esto o esto es menor o igual que ese es el mayor igual que estoy aquí y voy a copiar y pegar no obsesión es lo que quería ser déjame copiar y pegar horas y en los siguientes vídeos vamos a aplicar esto que hemos establecido aquí vemos que en realidad está amenazado la expresión es fácil de calcular