Problema verbal de la serie geométrica infinita: pelota que rebota

digamos que tenemos una pelota que dejamos caer de una altura de 10 metros muy bien dejamos caer la pelota de una altura de 10 metros y cada vez que rebota sube la mitad de altura que que tenía en el rebote anterior por ejemplo si tenemos aquí la pelota que la dejamos caer a 10 metros entonces después la pelota va a rebotar hacia arriba la mitad del rebote anterior que en este caso serían 5 metros entonces aquí estamos 5 metros uff qué feo 55 metros muy bien y la siguiente vez que rebote pues será a la mitad de esta altura que sean a 2.5 metros ahí tienen ustedes la pelota y va a estar a una altura de 2.5 metros muy bien y entonces lo que quiero hacer en este vídeo es ver cuál es la distancia total que recorre la pelota por supuesto la distancia vertical entonces vamos a ver en el primer en el primer rebote pues baja 10 metros verdad entonces tendremos 10 metros y luego en el siguiente rebote va a subir 5 y luego baja 5 entonces tendremos digamos la mitad de 10 que es 10 por un medio más la mitad de 10 que es 10 por un medio verdad es esta primera es cuando sube y esta segunda es cuando baja aquí realmente no tenemos que considerar en las direcciones simplemente tenemos que ver cuánta es la distancia total que recorre entonces por ejemplo aquí fueron 10 luego sube 5 y baja 5 entonces ahí sumamos 10 5 y 5 de hecho aquí en este segundo paso pues hace un total de 10 metros verdad vamos a ver qué pasa en el siguiente en el siguiente sube 2.5 y baja 2.5 entonces 2.5 estamos pensando que es la mitad de la mitad de 10 entonces son 10 por un medio al cuadrado más 10 por un medio al cuadrado y así esta pelota seguirá rebotando una infinidad de veces pero cada vez con una menor altura ok entonces estos tienen una era muy parecida a una serie geométrica vamos a tratar de expresar lo de la siguiente forma entonces lo que tenemos aquí son 10 dos veces diez a la un medio dos veces diez a la un medio en realidad son 20 veces al 20 por un medio verdad entonces tenemos 20 por un medio y aquí otra vez tenemos 10 por un medio al cuadrado dos veces entonces estos serán 20 por un medio al cuadrado y entonces esto ya casi tiene cara de una serie geométrica excepto que nos gustaría que el primer término fuera 20 bueno por eso es muy fácil porque entonces podremos sumar b sumar 10 para que nos dé 20 y restárselos entonces restamos 10 y sumamos 20 nos da más 20 y luego queda exactamente lo mismo verdad más 20 por un medio 20 por un medio al cuadrado y así seguimos sumando verdad entonces el primer término el este este 20 lo podemos ver como 20 por un medio a la 0 y aquí ya tenemos exactamente bueno aquí e igual elevado a la 1 tenemos una serie geométrica donde nada más le restamos 10 entonces lo que vamos a tener es los siguientes menos 10 pero ponerlo con verde mejor y ahora un poquito de más entonces tendremos menos 10 esta serie geométrica la suma desde acá igual a cero hasta infinito de 20 por un medio al acá muy bien y ya sabemos cómo calcular esta serie geométrica verdad ya sabemos que cualquier serie geométrica donde la proporción común tiene valor absoluto menor que 1 digamos si es la serie a por el real acá donde acá empieza en cero y termina en infinito será igual a entre 1 - r otra vez r debe tener un valor absoluto menor que 1 ok entonces en nuestro caso cuanto vale todo esto esto de aquí pues será 20 que es nuestra 20 entre 1 - r que es uno menos uno entonces esto es 20 entre 1 menos un medio es un medio y 20 entre un medio es lo mismo que 2 por 20 y estos son 40 sin embargo no hemos terminado porque hay que restarle 10 así que esto será menos 10 más 40 son 30 metros entonces cuánto fue lo que recorrió de distancia total esta pelota que va rebotando una y otra vez pero cada vez menos pues en realidad son sólo 30 metros