Ejemplo resuelto: serie de potencias a partir de cos(x)

veamos si podemos encontrar la representación en serie de mclaren para fx donde fx es igual a x cúbica que multiplica a coseno de x cuadrada te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta recuerda la serie mac loring no es más que la serie de pelos centrada en x igual a 0 y digamos que queremos encontrar los primeros 5 términos distintos de cero de la aproximación de mack loring de esta función supongo que ya lo intentaste y muy probablemente te frustras te en el intento pues al intentarlo te diste cuenta que para encontrar la serie the tail o la serie mac loring hay que derivar esta función y esto puede ser muy doloroso veamos efe prima de x es igual por la regla el producto es 3x cuadrada que multiplica a coseno de x cuadrada más x cúbica por la derivada de coseno de x cuadrada que es 2x por la diva de coseno que es menos seno de x cuadrada bien esto ya fue doloroso y se va a tornar aún más doloroso al tomar la segunda tercera derivada y podría ser más de 5 pues recuerda que queremos los primeros 5 términos distintos de cero así es que la segunda derivada va a ser dolorosa dolorosa y la tercera y la cuarta derivada van a ser aún más dolorosas y entonces qué hacemos podrías hacer esto evaluar cada uno de estos en ceros y usarlos como coeficientes pero como seguro ya te lo imaginaste hay una manera más fácil de hacerlo y te voy a dar una pista ya sabemos ya conocemos cómo es la serie de mclaren para coseno de x la desarrollamos en un vídeo previo si te interesa puedes buscarlo en khan academy se llama serie de taylor para la función coseno en cero ahí se describe con detalle esta que es una de las más famosas series de mack loring entonces sabemos que digamos que las funciones de x la cual es igual a coseno dx coseno de x sabemos cómo es el desarrollo en serie de potencias para esta función la aproximación de mclaren para esta función esto es aproximadamente igual a 1 - x cuadrada sobre 2 factorial más x a la cuarta sobre 4 factorial menos x a la sexta sobre 6 factorial y aquí ya creo que te das cuenta de cómo es el patrón de esta serie el siguiente término es x octava sobre 8 factorial y así menos más así seguiríamos sucesivamente y aquí tenemos los 5 primeros términos que necesitamos aunque en realidad necesitamos los 5 primeros términos de esta función tenemos que ver cómo relacionarlos con estos pero ahora que ya hemos recordado cómo es la serie de mack loring para coseno de x la ayuda que te doy es cómo puedes usar la serie de mac cloning para coseno de x para obtener la representación en serie de la función que nos están preguntando además observa qué es lo que tienes aquí x cúbica que multiplica a y aquí te estoy prácticamente releyendo la función x cúbica que multiplica a g de x cuadrada con eso que te he dicho ya tienes muy buenas pistas ahora te invito a que le pongas pausa al vídeo y veas si lo puede resolver por tu cuenta bien supongo que ya lo intentaste ahora voy a escribir acá lo que te mencioné tenemos que fx fx es igual si la quiero escribir usando gdx si la quiero escribir en términos de la función g f x es igual a x al cubo por coseno de x cuadrada que es de x cuadrada así es que es x al cubo x d x cuadrada gx cuadrada gx escocés de x gx cuadrada es coseno de x cuadrada que está multiplicando a x cúbica ahora hay alguna manera de aplicar en esto que tenemos aquí la aproximación que ya desarrollamos para coseno de x pues sí efectivamente si podemos hacer eso observa que si desarrollamos esta serie para x cuadrada en vez de x ponemos x cuadrada vamos a tener un polinomio en x y cuando multiplicamos por x cúbica vamos a obtener otro polinomio que va a ser efectivamente la representación en serie de mack loring de la función original fx que tenemos aquí así es que fx aproximadamente igual a x cúbica que multiplica a déjame poner suficiente espacio aquí que multiplica gdx cuadrada aquí tenemos la aproximación de g de x y si desarrollamos los términos de manera indefinida vamos a aproximarnos cada vez más saco seno de x así es que donde haya x vamos a sustituir x cuadrada esto es igual a 1 - x cuadrada elevado al cuadrado es x a la cuarta sobre 2 factorial es 2 pero lo pongo como 2 factorial para que veamos cómo es el patrón más x cuadrada elevado a la cuarta que es x a la octava sobre 4 factorial - x cuadrada elevado a la sexta que es x elevado a la 12 sobre 6 factorial + x al cuadrado elevado a la octava que es x a la 16 sobre 8 factorial y así sucesivamente alternando signos aunque a nosotros sólo nos interesan los primeros 5 términos distintos de cero de cualquier manera hemos establecido que esto es una aproximación así es que esto es aproximadamente igual voy a distribuir el producto de x cúbica y luego ya sea en magenta para que se vea más bonito así es que esto es aproximadamente igual a x al cubo menos x a la séptima sobre 2 factorial más x elevado a la 11 sobre 4 factorial menos equis elevado a la 15 sobre 6 factorial más x elevado a la 19 316 19 x a la 19 sobre 8 factorial estos son los primeros 5 términos y básicamente hemos concluido albert te puedes dar cuenta que tuviera tomado años hacerlo por digámoslo así fuerza bruta porque hubieras tenido que llegar al término x a la 19 a partir de las primeras 4 derivadas sin embargo cuando te das cuenta de que puedes expresar esta función con el producto de x cúbica y la expansión de mack loring de coseno de x cuadrada entonces la cosa cambia esto lo podríamos escribir de manera general como sigue voy a tratar de escribirlo de tal manera que te resulte claro si puede escribir la función como una x elevada a una potencia n aquí podríamos incluir una constante a que multiplica a x a la n iv esto que multiplica a otra función deja de ponerlo en otro color en púrpura que multiplica a d ve que multiplica x elevada a otra potencia donde yo puedo desarrollar esto fácilmente en series si conozco la serie mac loring deje de x si conozco lo que es gd x entonces hago lo que hemos hecho en este vídeo si conozco la sedema chlorine paraje de x entonces donde encuentre x lo voy a reemplazar por esto que tenemos aquí b por x elevado a la potencia m eso me va a dar otro polinomio otra serie de potencias la cual voy a multiplicar por x elevado a la n iv esto me va a dar otro polinomio la serie de potencias de mi función original esto es realmente interesante