Una función como una serie geométrica

encuentra una serie de potencias df donde f es 6 entre 1 más x al cubo y aquí nos están pidiendo cualquier serie de potencias de efe y aquí como nos están pidiendo cualquier serie podemos escoger la serie de mclaren que suele ser la más sencilla de todas porque está centrada en cero y por eso podemos llegar directamente a la función y simplemente evaluarla en cero después de evaluar la primera derivada en cero la segunda derivada en cero y así seguirnos y después utilizar la fórmula de la serie de mclaren para desarrollar esta expresión usando las derivadas evaluadas en cero ahora aquí también nos vamos a encontrar con problemas porque si es bastante fácil evaluar a efe de cero y también es bastante fácil evaluar f prima de 0 0 cuando tratamos de evaluar la segunda derivada de f en 0 o la tercera o la cuarta se va volviendo un proceso cada vez más complicado es cierto este problema se puede simplificar un poco podemos primero encontrar la serie de mclaren para f igual a 6 entre 1 + sur donde u es igual a x al cubo entonces encontramos la serie de mac loring para esta expresión y luego sustituimos la uv por x al cubo y hacer este truco realmente hace que sea un problema más fácil y es una forma fácil de resolverlo pero la forma más fácil de encontrar una serie de potencias para esta función es decir algo así como hey espera un segundo esta expresión esta forma que tenemos aquí esta expresión racional se ve idéntica a la suma de una serie geométrica bueno detengámonos un segundo para recordar cómo son las series geométricas una serie de geométrica se ve así el primer término es a el segundo término es a por r donde a es el término anterior y r es la razón común más ahora voy a volver a multiplicar por r y nos queda a por r al cuadrado más a por ere a la tercera potencia y luego así nos seguimos una y otra vez multiplicando el término anterior por r ahora nosotros sabemos que la suma de una serie geométrica es igual a el primer término entre 1 - la razón común r ok esto es simplemente la suma de una serie geométrica y observa nuestra definición de la función efe es muy parecida a la suma de una serie geométrica por ejemplo aquí podríamos decir que este 6 es a y luego y también podemos decir que menos rs-x a la 3 pero hay una mejor forma de decir esto y es decir que por acá tenemos uno menos menos x al cubo y ahora podríamos decir que r es igual a menos x al cubo y listo ya con esto encontramos un desarrollo de f en una serie de potencias por aquí la a es igual a 6 y la r es igual a menos x al cubo así es que podemos escribir a efe como una serie geométrica y vamos a hacerlo paso por paso aquí el primer término es a o sea es un 6 más el segundo término es 6 otra vez por nuestra razón común pero la razón común es menos x a la 3 o sea que aquí estamos multiplicando por menos x a la 3 pero este término se puede reescribir de otra forma lo podemos escribir como menos 6 x x a la 3 y luego vamos a multiplicar este término por la razón común menos x a la 3 y eso nos va a quedar bueno pues se multiplicó esto por - x a la 3 lo que nos queda es más 6 x x a la 6 y aquí otra vez vamos a multiplicar por menos x a la 3 y nos queda menos x a la 9 y este proceso sigue y sigue infinitamente aquí vamos a sumar el término x menos x a la 3 o sea que nos queda aún más por equis a la 12 y podemos seguir y seguir y seguir y seguir y seguir y listo esta es la serie de mack loring de efe y el truco aquí fue no tener que hacer todo este proceso que queríamos hacer por acá el truco fue darnos cuenta de que esta expresión se parece a la suma de una serie geométrica y se puede considerar una serie geométrica y entonces podemos usar esta serie geométrica para encontrar una serie de potencias que represente a efe y así podemos usar esa serie geométrica como el desarrollo en serie de potencias de nuestra función f ese es un truco muy útil