Ejemplo resuelto: convergencia o divergencia de una sucesión

hemos definido explícitamente cuatro sucesiones distintas y lo que quiero que pienses es si estas sucesiones convergen o divergen y tienes que recordar que una sucesión converge eso significa que si n es muy muy muy grande se va haciendo muy muy grande el valor de la sucesión se aproxima a algún valor y que la asociación diverge significa pues que no se aproxima no pero no se aproxima a ningún valor alguno ok entonces te invito a que hagas una pausa y reflexiones qué ocurre con estas cuatro sucesiones entonces para poder trabajar con ellas lo que vamos a tratar de ver es por ejemplo qué pasa con con el grado de los de los polinomios que aparecen en la primera entonces si nosotros desarrollamos tenemos n por en es n cuadrada y luego tenemos 8 por n y una por n entonces eso nos da 9 n + 8 por 1 que es 8 y todo esto va dividido todo esto va dividido entre n por n menos 10 que es n cuadrada menos 10 n entonces pensemos en lo siguiente cuando la n es muy muy muy pero muy grande n cuadrada es el término dominante del numerador aunque aquí aparece una n en realidad pues está esta expresión es lineal y no crece tan rápido como n cuadrada así que para él es muy grandes esta es la que nos va a importar lo mismo va a pasar para el término para el polinomio de abajo verdad n cuadrada es la que va a dominar y podríamos pensar que esto es n cuadrada entre n para em es muy pero muy grandes ok eso eso se hace esencialmente uno y por lo tanto podemos podemos casi apostar que esto converge muy bien por supuesto digo casi porque necesitaríamos una prueba pero no lo voy a hacer rigurosamente en este vídeo solo es tratar de identificar cuando convergen o cuando no muy bien vamos con el pse el segundo ejemplo y ahora aquí pensemos cuál es el término que crece más rápido en esta sucesión entonces aquí tenemos un exponencial un exponencial este exponencial e elevado a la n eso crece muy rápido verdad si recordamos la gráfica es algo que crece así verdad ahí está el 1 donde cruz en fin y mientras tanto abajo tenemos una expresión lineal una expresión lineal que eso más o menos se ve como algo así entonces queda claro que para en es muy grande es el numerador en este caso crece muchísimo así que vamos a quitar todo esto y lo que podemos decir es que este término crece mucho más rápido mucho más rápido rápido que el término dominante de acá abajo que es por n muy bien entonces como éste crece muy muy rápido más que éste esto se va a infinito entonces diverge diverge muy bien vamos a ver qué pasa con el siguiente caso en el siguiente caso el término n cuadrada es el dominante es el que se va más rápido mientras que está dividido entre n así que esto claramente va a bueno se va a ir a infinito diverge muy bien por qué pues porque el numerador crece mucho más rápido que el denominador ahora vamos a ver qué pasa con el último ejemplo tenemos menos 1 a la n tiene vale 1 o bueno tiene vale 0 es menos 1 a la 0 es 1 tiene vale 1 tenemos menos 1 a la 1 que es menos 1 tiene vale 2 es menos 1 al cuadrado que es uno si n vale 3 es 1 por menos bueno sería menos 1 al cubo que es menos 1 x menos 1 x menos uno que es - 1 y así sucesivamente va a ir oscilando entre 1 y menos 1 entonces aunque esta sucesión es acotada es decir este no se no crece demasiado ni decrece tanto siempre se mantiene muy fijo verdad entre dos valores nada más entonces esta sucesión es acotada sin embargo no no no se no tiene algún valor fijo de hecho siempre va a ir oscilando entre 1 y menos 1 así que de esta forma podemos decir que la sucesión divergen