Residuo de un polinomio de Taylor (parte 1)

digamos que tengo una función fx y permítanme graficar una f de x arbitraria digamos que este es mi eje de las 10 este es mi eje de las x ajá y qué puede que fx luzca algo así y lo que busco es aproximarme a fx con un polinomio de taylor centrado en x igual aa digamos este es el eje de las equis este el eje de la sie lo que quiero es que el polinomio de taylor centrado en a se aproxime a la función y ustedes han visto cómo funciona esto verdad el polinomio de taylor se hace para que todas las derivadas hasta cierto 2 hasta cierto grado sean iguales al de nuestra función original verdad esto por supuesto evaluado en a así que el polinomio evaluado en a también debe ser el el igual a la función evalúan así que nuestro polinomio digamos que lo llamamos pd x ya veces a lo mejor le pondrán un subíndice n verdad que indica que la aproximación de qué grado estamos en qué grado estamos aproximando también le podemos poner una que significa el punto en donde está centrado ok mejor lo escribo de esta forma se trata de un polinomio de décimo grado centrado en a y que lucirá más o menos algo así efe de a más f prima evaluada en a por x menos a por x menos a más efe mi prima evaluada en a por x menos a al cuadrado entre 2 factoriales o 22 factorial y 2 es lo mismo de hecho aquí podríamos poner 1 factorial verdad y el siguiente término va a ser la tercera derivada de f evaluada en a por x menos al cubo entre 3 factorial y ustedes creo que ya saben a dónde va esto verdad así que si nos seguimos hasta el enésimo término que será la enésima derivada de f evaluada en a por x menos a a la n entre en el factor ya muy bien y es el polinomio es el polinomio centrado en el polinomio de taylor de enésimo grado y es sin duda efe de a es igual a el polinomio evaluado en la verdad y puedes comprobarlo ya que todos los demás tienen un x menos a verdad que si loeb a la evaluamos en la se cancela así que pda es igual a fedea y más o menos el polinomio luce como algo así ver así digamos digamos déjenme ver si me sale espero sea más o menos preciso lo haré lo mejor posible ok más o menos y lo que quiero hacer en este vídeo después de todo este repaso es que si yo tengo una aproximación polinomio de esta función mientras más términos tenga es decir mientras más alto sea el grado del polinomio mejor ajusta a la curva fuera de a pero lo que quiero hacer realmente es que piensen que tan bueno es este ajuste a medida que nos vamos alejando del punto a así que voy a definir una función llamada residuo oa veces también en los libros se le llama la función error y bueno sólo para que seamos consistentes con con toda la anotación de varios libros lo voy a algunas personas lo llaman el residuo de orden n centrado en a de x ok o quizás también lo veas como la función error pero yo prefiero evitarlo porque esto parece como el valor esperado de la probabilidad así que quizás algunas veces véase esto pero bueno también llevará sus subíndices en ella verdad así que esto lo definimos simplemente como la función dada por la diferencia de nuestra fx con el polinomio ok entonces esto realmente va a ser déjenme cambiar de colores fx menos pd x donde p de x es nuestro polinomio de grado n centrado en a así que por ejemplo si alguien fuera a preguntarte que te pregunté que cómo como visualizas esto en realidad de lo que están hablando es bueno si tú evalúas este error o este residuo en b en realidad a que sí a que es igual o como como puedes pensar esto bueno si ve anda por acá en realidad lo que te está preguntando es esta diferencia es decir este tamaño lo que nos están preguntando es cuánto mide este error esta distancia de aquí ok por supuesto la distancia en a debido a que la función vale lo mismo en que en el polinomio pues la distancia es cero así que déjame escribirlo aquí mismo porque es una propiedad bastante interesante que nos va a ayudar a acotar eventualmente el error así que el error evaluado en a ya ya no voy a poner los subíndices a lo largo del vídeo ya estamos pensando que el polinomio de grado n que estamos entrando en a así que el error en a va a ser igual a efe a menos pd a donde otra vez ya no le voy a poner subíndice en ella ya estamos poniendo todo eso que es un polinomio de grado n y está centrado en así que como estas dos son iguales esto va a ser igual a cero y ya veremos aquí que justamente coincide la curva en ese punto verdad ahora pensemos en la derivada de la función error evaluada en la esto simplemente será la derivada de f evaluada en a menos la derivada de p también evaluado en a también evaluado en ahora como dijimos que el el orden era mayor que 1 entonces sabemos que las derivadas coinciden son iguales en así que de hecho puedes derivar todo lo demás evaluamos en na y se cancelan los términos que le queden algún x menos a la verdad así que cuando evalúas estás derivadas de tu polinomio na simplemente nos va a quedar f prima de la verdad lo cual tiene bastante sentido por ser una buena aproximación así que si derivamos efe de a se cancela después aquí sólo nos queda efe primaria y en los siguientes términos pues tendremos algo del estilo x menos a alguna potencia así que cuando evaluamos en a todos esos términos desaparecen el primero ya desaparece al derivar y por lo tanto sólo nos queda f prima de a ok entonces ya hemos visto eso antes dejen de escribirlo porque de esta forma pep prima de a es igual a f prima de a muy bien entonces el cuando evaluamos el error o la derivada del error en a simplemente nos queda cero por esta propiedad general aquí esto esto es cierto para toda n hasta el término enésimo verdad ya habíamos visto esto pd efe de prima de a es igual a efe prima de a de hecho esta propiedad se sigue hasta la enésima derivada evaluada en a que la enésima derivada de p evalúa de nada es igual a la enésima derivada de f evaluada en a muy bien entonces ahora vamos a ver qué pasa con la función error la enésima derivada de la función error evaluada en a pues simplemente va a ser la enésima derivada de f evaluada en a menos la enésima derivada de p evaluada y como son iguales como ya habíamos visto que son iguales entonces este esto va a ser igual a cero esta es una propiedad bastante interesante pero también va a ser útil cuando tratemos de acotar este esta función error y ese es el punto central de por qué estoy haciendo todo esto y que lo veremos probablemente en el próximo vídeo vamos a tratar de tener una estimación de qué tan buena es la aproximación cuando cuando tenemos esta aproximación polinomiales ahora vamos a ver qué pasa cuando tomamos una derivada mayor digamos que tomamos la enésima derivada de la función error y de hecho si queremos ver la enésima n undécima derivada de e simplemente vamos a evaluarlo en algún punto bueno esto va a ser igual a la n 1 encima derivada de f evaluada en a menos la n más un décima derivada de p también es perdón había dicho que en x verdad entonces ponemos en x no estamos evaluando ahorita na sino en equis ok entonces dejen de esto esto sale de la expresión que subraya entonces la enésima derivada de la enésima derivada de efe - la n más una enzima derivada de p evaluada en x ahorita le puse los subíndices pero bueno en adelante quizás no lo haga así que quien es la enésima derivada de p si es un polinomio de grado n ok por ejemplo piensa que tienes la segunda derivada de ya iguala x que es un polinomio de primer grado y estamos tomando la segunda derivada obtendremos que es 0 verdad si por ejemplo tienes igual la x cuadrada es un polinomio de grado 2 y si tomamos la tercera derivada entonces vamos a tener que es 0 en general si tienes la enésima derivada de un polinomio de grado n puedes tú mismo probar que en realidad te va a dar 0 y espero haga un poquito de sentido para ti esto entonces esto que es la enésima derivada del polinomio de grado n pues simplemente va a ser cero así que la n undécima derivada de nuestra función error evaluada en cualquier punto x simplemente será la enésima derivada de f evaluada en ese punto y vamos a continuar en el próximo vídeo tratando de ver cómo cómo podemos acotar esto si podemos acotar esta expresión de la del error digamos se supone que somos capaces de acotar esta magnitud es decir si podemos encontrar un valor m para el cual sea más grande que el valor absoluto del error de la enésima derivada del error y podamos hacer un poquito de cálculo para poder integrarlo integrarlo unas varias veces y ver si podemos regresar a la función original no sabemos bien cómo encontrar esta cota pero bueno eso lo haremos en el próximo vídeo