Ejemplo resuelto: el polinomio de Taylor para la función derivada

supongamos que nos han dado esta información acerca de la función g y sus derivadas evaluadas en dos sabemos qué g de 2 es igual a 3 g prima de 2 es igual a 1 la segunda derivada de gen 2 es igual a menos 1 la tercera derivada de gen 2 es igual a 2 dada esa información el reto que se nos plantea es usar un polinomio de taylor de segundo grado centrado en x igualados centrado en x igual a 2 para aproximar g prima de 11 g de 1g prima de 1 por lo pronto te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes resolverlo por tu cuenta supongo que ya lo intentaste ahora hagámoslo juntos para empezar recordemos cómo se ve un polinomio de taylor de segundo grado de cualquier función f en general centrado en x igual a 2 tenemos que fx es aproximadamente igual efe 2 más efe prima de 2 que multiplica a x menos 2 más efe mi prima de 2 que multiplica a x2 elevado al cuadrado dividido entre 2 factorial esto nos da un polinomio de segundo orden pues x menos 2 al cuadrado nos da un polinomio de segundo grado ahora esta es la forma general para aproximar fx centrada en x igualados pero nosotros queremos la forma del polinomio para encontrar que prima de 1 déjame escribir esto lo voy a hacer en azul así es que queremos la forma de la aproximación de g prima de x para posteriormente evaluarla cuando x es igual a 1 entonces que prima de x es aproximadamente igual a es lo mismo que hicimos arriba es la función que quiero aproximar evaluada en 2 en este caso que prima de 2 observa que si estoy aproximando fx es esa función de valor en dos si esté aproximando que prima de x es esa función evaluar en 2 más la primera derivada de la función evaluada en 2 que en este caso es heavy prima evaluada en 2 que multiplica a x menos 2 más la segunda derivada de la función evaluada en 2 que en este caso la segunda derivada de ge prima es la tercera derivada de g así es que la tercera derivada de g evaluada en 2 que multiplica a x 2 elevado al cuadrado y todo eso sobre 2 factorial y estos valores no nos dan estos valores no los han dado aquí voy a usar nuevos colores nos han dado g de 2 igual a 3 g de 21 g de 2 no lo necesitamos necesitamos que prima de 2 g de dos no lo usamos que prima de 2 es igual a uno que prima de 2 es igual a 1 así es que este es igual a 1 heavy prima de 2 es igual a menos 1 este de aquí es menos 1 y la tercera derivada de g evaluada en 2 así es que aquí tenemos que esto vale 2 sobre 2 factorial los factoriales 2 por 1 es igual a 2 así es que estos dos se cancelan y entonces que nos queda de esta aproximación que nos queda de esta aproximación de segundo grado de g prima de x centrada en x igualados nos queda que que prima de x que prima de x es igual que prima de x es aproximadamente igual a 1 - x 2 x 2 que puede escribir directamente como 2 x 1 + 2 - x menos x menos 2 es lo mismo que 2 - x y eso más x2 elevado al cuadrado aquí puedo sumar 12 para obtener entonces que esto es igual a 3 x más x menos 2 elevado al cuadrado y ahora ya podemos evaluar si queremos evaluar g prima de uno que prima de uno es aproximadamente igual donde aparece x voy a sustituir uno esto es tres menos uno más uno menos dos elevado al cuadrado 3 - 1 es 21 menos dos es menos uno elevado al cuadrado es uno menos uno elevado al cuadrado es 1 así es que nos queda 2 más 1 esto es igual a 3 3 es el valor que hemos obtenido como la aproximación de g prima de 1 que hicimos encontramos la aproximación de taylor la aproximación del polinomio de taylor de segundo grado centrada en x igualados paraje prima de x y después evaluamos eso cuando x es igual a 1 para obtener así aproximación de eje prima de uno en fin espero que te hayas divertido