Ejemplo resuelto: coeficientes de un polinomio de Taylor

si fx es igual a x elevado a la sexta potencia menos equis elevado al cubo cual es el coeficiente para el término que contienen a x + 2 elevado a la cuarta potencia en el polinomio de taylor df centrado en x igual a menos 2 así que como siempre hace una pequeña pausa antes de que empecemos a trabajar el problema juntos e intentar resolverlo ok de manos a la obra en general un polinomio de taylor un polinomio de taylor p de x se ve de la siguiente manera esto va a ser exactamente igual y recuerda si estamos centrados en x igual a menos 2 eso es importante entonces se va a ver de la siguiente manera pd x se va a ver como la función evaluada en menos 2 esto a su vez dividido entre 0 factorial entre 0 factorial que multiplica a x menos el valor donde estamos centrados que es menos 2 pero bueno x menos menos 2 es lo mismo que x + 2 x + 2 esto elevado a la potencia 0 elevado a la potencia 0 que al final todo esto es 1 esto es 1 y esto de aquí pero lo voy a escribir así para que veas el patrón ya esto le vamos a sumar ok recuerda que es una serie una serie infinita entonces le vamos a sumar y ahora observa que el patrón está creciendo vamos a tomarnos la primera derivada de f la primera derivada de fm y la vamos a evaluar en menos 2 en el punto donde estamos centrados esto lo vamos a dividir entre 1 factorial ok y lo vamos a multiplicar por x 2 x 2 elevado a la potencia 1 ya esto le vamos a sumar y observa el patrón la segunda derivada la segunda derivada evaluada en menos 2 ok esto dividido entre 2 factorial ok que multiplican a x + 2 esto elevado al cuadrado y bueno podemos seguir a esto le vamos a sumar ok la tercera derivada evaluada en menos 2 ok esto a su vez dividido entre 3 factorial que multiplica a x más 2 elevado al cubo ok y a esto le sumamos y voy a seguir un término más porque observa lo que queremos es encontrar el término es más lo voy a poner con otro color el coeficiente para el término que contiene a x + 2 elevado a la cuarta potencia así que ya estamos al ladito esto me quedaría más la función derivada cuatro veces cuatro veces lo puedo escribir así también se escribe como un 4 en un paréntesis esta cuarta derivada evaluada en menos 2 está dividido entre 4 factorial ok que multiplica a x + 2 esto elevado la cuarta potencia y vamos a seguir sumando y sumando y sumando de hecho aquí debería decir que esto es aproximadamente déjame ponerlo así esto va a ser aproximadamente toda esta expresión que tengo aquí porque todavía nos faltan un buen de sumandos por acá ahora bien esta es la parte que nos interesa y bueno cuál es el coeficiente que nosotros estamos buscando déjame ponerlo mica así con este color voy a poner el coeficiente que es lo que nosotros estamos buscando bueno pues va a ser esta parte que tengo aquí en esta parte que tengo aquí va a ser el coeficiente tras el cual vamos observar aquí tenemos x + 2 elevado a la cuarta potencia que es justo lo que buscamos y lo que está al lado de él es el coeficiente entonces vamos a tener que tomarnos la cuarta derivada de esta función que tengo aquí evaluarla en menos dos y dividirlo entre cuatro factorial así que hagámoslo primero me voy a tomar las derivadas que busco si esta es mi función la primera derivada de mi función va a ser igual y bueno es simplemente aplicar la regla de las potencias aquí me quedarían seis veces seis veces x elevado a la quinta potencia 6 menos 15 menos 3 veces x elevado a la segunda potencia ok está la primera derivada voy a derivar lo una segunda vez y me va a quedar bueno aquí tengo un 6 por 5 eso es lo mismo que 30 30 veces x elevado a las cinco menos uno 4 - 2 x 36 x elevado a la potencia 2 - 1 es decir a la primera potencia ok la tercera derivada la tercera derivada me va a quedar me va a quedar como 4 por 30 eso es 120 120 x elevado a la tercera potencia menos 6 es la derivada de 6x es simplemente 6 y si cálculo la cuarta derivada recuerda lo poco escribir así o lo puedo escribir como la cuarta derivada ambas son formas equivalentes pero para seguir este mismo patrón voy a poner aquí cuatro líneas la cuarta derivada de x esto va a ser igual a 120 por 3 lo cual es 360 x elevado a lahm a la segunda potencia elevado al cuadrado y la derivada de menos 6 se va es la derivada de una constante ok esta es la cuarta derivada de x pero yo quiero la cuarta derivada evaluada en menos 2 vamos a hacerlo si veo cuál es la cuarta derivada evaluada en menos 2 me quedaría que esto es lo mismo que 360 que multiplican a menos 2 elevado al cuadrado lo cual es exactamente igual que 360 que multiplica a 4 y lo voy a poner así porque vamos a dividir entre 4 factorial es decir el valor que nosotros buscamos es exactamente igual déjame escribirlo así la anp cuarta derivada evaluada en menos 2 entre 4 factorial que es lo que nosotros buscamos es exactamente igual que 360 que multiplica a 4 esto a su vez dividido entre 4 factorial que es 4 por 2 por 3 por 1 ok y esto va a ser igual este 4 con este 4 se cancelan dividir entre 1 es no hacer nada y después me quedan 2 por 13 6 360 entre 6 360 entre 660 ahí está ya tenemos el coeficiente que nosotros buscamos el coeficiente que nosotros buscamos es 60 y ya con esto hemos acabado el vídeo