Ejemplo resuelto: estimar eˣ por medio de la cota de Lagrange para el error

al estimar y a la 1.45 usando un polinomio de taylor centrado en x igual a 2 cuál es el menor grado del polinomio que asegura un error menor a 0.001 en general cuando nos encontramos en una situación como ésta donde estamos aproximando a una función con un polinomio de taylor centrado en algún valor y queremos saber cuántos términos del polinomio necesitamos qué grado necesitamos que tenga este polinomio de taylor para acotar al error y esa es una pista muy fuerte de que vamos a usar la cota del error de lagrange o sea el teorema del residuo de taylor y ahora solo como recordatorio aquí tenemos el teorema del residuo de taylor que nos dice que el valor absoluto del residuo del polinomio de taylor de grado n es menor o igual que esta expresión donde en esta expresión n es el grado del polinomio es el valor donde estamos calculando el residuo en este caso es 1.45 y si es en donde está centrado el polinomio de taylor pero está m de aquí que es bueno pues se me es una cota superior del valor absoluto de la derivada n 1 de la función que estamos tratando de estimar y esto puede sonar un poco complicado pero a lo largo de este ejercicio cada una de estas partes va a quedar un poco más clara en este ejercicio en particular estamos tratando de estimar a la 1.45 en este ejercicio en particular estamos tratando de estimar a a la x así es que vamos a describirlo por aquí efe de x a la equis esta es la función que estamos tratando de estimar y la queremos estimar en 1.45 y vamos a empezar encontrando esta cota superior entonces queremos la n más undécima derivada de fx pero recordemos que las derivadas de la x son iguales a la función la primera derivada de a la x es a la x la segunda derivada también es igual a ea la x y así nos seguimos la enésima derivada también es que a la x la derivada n 1 en x también es igual a a a la x lo cual es bastante conveniente porque estos problemas se vuelven muy difíciles cuando no es sencillo acotar la derivada n 1 de la función ahora nosotros sabemos que es a la x que bueno por cierto es igual a su valor absoluto porque era la x es una función positiva bueno pues sabemos que su valor absoluto es menor o igual que a la 2 para los valores de x para los valores de x que se encuentren entre 0 y 2 la función es a la x no está acotada para todos los valores que puede tomar x para todo el dominio de esta función conforme x se da a sí infinito ea la x también se va hacia infinito entonces no la podemos acotar para todos sus posibles valores pero si podemos encontrar un intervalo en el que esta función esté acotada que contenga a todos los valores de x que nos interesan o sea el valor que nos interesa es 1.45 en este caso también necesitamos que contenga al valor en el que está centrado nuestro polinomio de taylor que en este ejemplo es 2 así es que ya sabemos que en este intervalo la función era la x está acotada por el al cuadrado por lo que podemos usar al cuadrado como esta m de aquí podemos usar el al cuadrado como m aquí logramos encontrar una cota para la derivada n 1 de la función y listo ya con esto ya podemos ver la cota del error de lagrange podemos decir que el valor absoluto del residuo del polinomio de taylor de grado n que por cierto nosotros queremos encontrar cuál es la n que necesitamos cuál es la n que nos asegura que estamos agotando suficiente al error pero a ver aquí tenemos el residuo del polinomio de taylor de grado n evaluado en 1.45 1.45 y esto va a ser menor o igual que el valor absoluto de m pero nuestra m es al cuadrado al cuadrado entre n 1 factorial 1.45 que es el valor de x que nos importa es donde estamos tratando de calcular el error menos el valor donde se centra nuestro polinomio de taylor o sea 22 elevado a la potencia n 1 a 1.45 2 esto es menos 0.55 pero de una vez vamos a escribirlo por acá menos 0.55 y lo que queremos saber es para qué valor de n esta expresión es menor que 0.001 bueno ya aquí tenemos que hacer un poquito de manipulación algebraica aquí estamos tomando el valor absoluto de este valor por aquí esta parte al cuadrado es positivo n más 1 factoriales positivo y menos 0.55 elevado a la n 1 dependiendo del valor de n puede ser positivo o negativo pero como estamos sacando el valor absoluto lo que nos queda es esto nos queda y al cuadrado por 0.55 elevado a la n-1 entre n 1 factorial y lo que estamos buscando es con qué valor de n esta expresión es menor que 0.001 pero bueno podemos simplificar esto un poco más porque estamos buscando los valores de n entonces podemos dividir entre y al cuadrado y lo que nos queda es 0.55 elevado a la potencia n 1 entre n 1 factorial menor que 0.001 entre al cuadrado ahora para jugar con esto vamos a necesitar una calculadora ahora lo que vamos a hacer es probar con en es cada vez más grandes hasta que encontremos una n que cumpla esta desigualdad y por cierto queremos encontrar la n más pequeña que hace que esta desigualdad sea cierta entonces sacamos la calculadora queremos calcular esta expresión 0.001 entre y entre paréntesis queremos poner a la 2 es igual a esto que tenemos acá así es que este número si lo redondeamos nos queda 0.000 136 0.000 136 ok lo que estamos buscando es una n que haga que esto sea menor que este número aunque bueno como ésta es una cota es mejor no redondear es mejor truncar y nos queda 135 esta expresión es un poquito más grande que ésta así es que si encuentro una n que haga que esta expresión sea menor que cero puntos 0 0 135 ya terminamos porque esto es menor que esto simplificamos esto a buscar una n que cumpla que 0.55 elevado a esa n 1 entre n 1 factorial sea menor que este número bueno empezamos a probar con algunas en es vamos otra vez por la calculadora veamos a cuánto es igual esta expresión cuando n es igual a 2 podríamos empezar con n a uno en tres en igual a cinco pero sí en dos es suficiente para que sea menor a este número entonces tal vez voy a probar qué pasa si en es igual a 1 ahora tiene igual a 2 no es suficiente entonces voy a probar con n igual a 3 ó n igual a 4 entonces empecemos con bueno no mejor empecemos con n igual a 3 si n es igual a 3 aquí en esta expresión tenemos 0.55 elevado a la 4 entre 4 factorial entonces tenemos 0.55 elevado a la 4 eso es igual a este número y lo queremos dividir entre 4 factorial nos queda este número pero no es suficientemente pequeño para ser menor que este otro número porque tenemos dos ceros y un 320 si aquí tenemos otro cero así es que vamos a probar qué pasa si ahora n es igual a 4 si n es igual a 4 va a ser esto elevado a las 5 entre 5 factorial entonces tenemos 0.55 elevado a las 5 y eso lo queremos dividir entre 5 factorial y nos queda en total y ya casi llegamos porque aquí punto 0 004 sigue siendo mayor que punto 0001 así es que yo me imagino que con n igual a 5 va a ser suficiente vamos a verlo si en es igual a 5 aquí estamos elevando a las 6 y dividiendo entre 6 factorial por lo que nos queda 0.55 elevado a las 6 entre 6 factorial y eso es igual a este número y este número definitivamente si es más chico que éste tenemos 0.4 ceros y luego 384 este número es menor que este de acá entonces cuando n es igual a 5 el residuo que obtenemos con un polinomio de taylor de grado 5 es menor que este número que a su vez es menor que el número especificado por este ejercicio así es que cuál es el menor grado del polinomio que asegura que el error sea menor a una milésima bueno pues la respuesta es 5 100 es igual a 5 el residuo definitivamente es menor a una milésima