Ejemplo resuelto: estimar sin(0.4) por medio de la cota de Lagrange para el error

estimando seno de 0.4 usando un polinomio de maclaurin cuál es el grado más pequeño del polinomio que nos asegura que el error es menor a una milésima entonces qué es lo que estamos diciendo por acá bueno pues podríamos tener una función f de x y aproximarla con un polinomio de maclaurin de grado n o de una forma más general también podríamos aproximarlo con un polinomio de taylor ahora en este ejercicio este es un polinomio de mclaren sin embargo esta aproximación no va a ser perfecta vamos a tener un residuo el residuo de la aproximación del polinomio de grado n y por supuesto este residuo depende de en qué x estemos evaluando a la función ahora si queremos utilizar la información específica de este ejercicio fx esceno de x ok aquí tenemos la función seno y la queremos aproximar cuando x es igual a 0.4 y esto va a ser igual al polinomio de mack loring de grado n evaluado en 0.4 más el residuo de ese polinomio de grado n también evaluado en 0.4 y lo que realmente queremos hacer en este ejercicio es averiguar cuál n es la más chica que nos asegura que este residuo sea menor a una milésima nosotros queremos saber cuál es la m más pequeña cual es la n más pequeña con la que con la que el residuo de nuestro polinomio de grado n evaluado en 0.4 es menor que una milésima osea 0.001 y ésta es simplemente otra forma de reescribir este problema pero para resolverlo podemos utilizarla cota del error de lagrange que también es conocido como el teorema del residuo de taylor hemos demostrado este teorema en algún otro vídeo pero lo vamos a volver a escribir por acá tal vez no va a quedar tan claro al principio pero todo va a quedar más claro conforme resolvamos este ejercicio el teorema del residuo de taylor o sea la cota del residuo de lagrange nos dice que si la derivada n 1 de nuestra función está acotada por m si la derivada n 1 de nuestra función si su valor absoluto es menor o igual que alguna constante m para todos los valores de x en algún intervalo abierto en algún intervalo abierto que contenga el centro de nuestro polinomio de taylor que como este es un polinomio de mack loring ese centro es 0 y a la equis que nos interesa que en este caso es 0.4 pero aquí le vamos a poner y a x entonces si esto es cierto si la derivada n 1 de la función f está acotada o sea si su valor absoluto es menor o igual que m en algún intervalo abierto que contenga a 0 que si estamos hablando del caso general esto es c y a la equis que nos interesa lo que nos dice el teorema del residuo de taylor también conocido como la cota del error de lagrange nos dice que si esto es cierto entonces el residuo del polinomio de grado está acotado y es menor o igual que esta cota m por equis elevada a la n 1 / n 1 factorial tomando su valor absoluto ok esta es la cota del error de lagrange pero como lo vamos a aplicar para resolver este problema bueno pues podemos empezar por pensar en la derivada n 1 de nuestra función así es que pensemos y podemos acotar la bueno pues la derivada de seno es coseno pero luego la derivada de kosheh no es menos seno y así nos seguimos entonces todas estas derivadas van a ser o senos y cosenos pero la ventaja que tenemos aquí es que tanto el seno como el cose no están acotados por uno así es que no importa cuántas veces derivamos a seno su enésima derivada siempre va a ser menor o igual que uno así es que para esta función en particular esta f de x que en realidad es el seno de x el valor absoluto de la derivada n 1 de s efe x siempre va a ser menor o igual que 1 pero esto es cierto sólo porque fx es seno de x y por cierto esto es cierto para cualquier valor de x no solo en algún intervalo entonces este es nuestro valor de m el seno y todas sus derivadas están acotadas por 1 así es que ya tenemos la m la cota por lo que ya podemos utilizar la cota del error de lagrange que nos dice que el error del polinomio de grado n evaluado en 0.4 aquí nosotros sabemos que la equis en la que nosotros queremos acotar al error es 0.4 no necesitamos minimizar la n para un x en general sino para el valor que nos interesa el valor absoluto del residuo del polinomio viene en 0.4 es menor o igual que m pero m en este caso es 1 por lo cual ni siquiera lo tengo que escribir y luego por equis que es 0.4 elevado a la potencia n 1 a la n 1 y luego dividimos entre n 1 factorial ok y esta es la cota del error de lagrange si logramos encontrar alguna forma de que esta cota sea menor a 0.001 entonces habremos acotado nuestro error a menos de una milésima pero ahora como encontramos una n que haga que esta cota sea menor a una milésima y como vamos a encontrar esa n bueno pues podemos probar con algunas en es ir aumentando el tamaño de n hasta que encontremos alguna n que haga que esto sí se cumpla y es justo lo que vamos a hacer y vamos a hacerlo en forma de tabla aquí vamos a ponerlas en next por acá vamos a poner la cota que es 0.4 elevado a la n 1 / n 1 factorial bueno podemos empezar con n igual a 1 cuando n es igual a 1 aquí tenemos 0.4 al cuadrado entre 2 factorial lo cual es igual a 0.16 entre 2 lo cual es igual a 0.08 que definitivamente no es más pequeño que una milésima entonces vamos con la siguiente n n igualados cuando n es igual a dos tenemos 0.4 al cubo entre 3 factorial lo cual es igual a cero punto 0 64 y aunque lo escribí demasiado rápido pero estamos dividiendo entre 3 factorial que es 6 ahora si lo analizamos con cuidado esta división se parece mucho a 0.01 que definitivamente no es menor que una milésima por lo que tenemos que irnos a la siguiente en 3 y nos queda 0.4 elevado a la n 1 que es 4 entre 4 factorial que es igual 0.0 256 entre 24 y haciendo las cuentas de esta división esto es un poquito más grande que 0.001 un poquito más grande por lo que yo presiento que la siguiente n si va a ser que la cota sea menor que una milésima a ver veamos tenemos 0.4 elevado a la 5 entre 5 factorial y esto es igual a cero punto cero el 24 entre 5 factorial que es 120 y ahora sí si hacemos esta división podemos ver que esto si es menor que 0.001 esto definitivamente es menor que una milésima así es que podemos concluir que para el polinomio de grado 4 el residuo evaluado en la equis que nos interesa que es 0.4 si es menor o igual que una milésima y listo ya resolvimos este ejercicio 4 es el grado más pequeño del polinomio de mclaren que nos asegura que el error sea menor que una milésima