Reglas básicas de las derivadas (parte 2)

en el último vídeo vimos esta propiedad que nos dice que si una función es constante entonces su derivada es igual a cero y vimos para acá una explicación gráfica de por qué sucede esto y también utilizamos las definiciones de derivada para estar completamente seguros de que esta propiedad es cierta y ahora lo que vamos a hacer es ver más de estas propiedades y estas propiedades que estamos viendo son propiedades básicas que vas a utilizar a lo largo de tu carrera a lo largo de tu vida siempre que estés utilizando cálculo vas a utilizar constantemente estas propiedades para encontrar derivadas así es que es bastante importante conocerlas y estar seguros de que si son ciertas estas propiedades pero bueno la segunda propiedad nos dice que si una función f x es igual a una constante por otra función g de x entonces la derivada de la función f x es igual a k la constante por la derivada de la función g podemos explicar de forma gráfica por qué sucede esto aquí esta constante que está multiplicando a la función g está modificando la pendiente de las rectas tangentes pero honestamente es mucho más fácil hacer un argumento algebraico y para eso podemos utilizar cualquiera de estas dos definiciones de derivada yo voy a utilizar esta definición por acá con la equis porque me parece que se siente más general es cierto por acá podemos decir oye esta puede ser cualquier valor y entonces podemos argumentar que esta definición es igual de general que ésta pero por el momento me siento más cómoda utilizando esta definición entonces si queremos encontrar f prima de x utilizando esta definición nosotros que la derivada de f es igual al límite cuando h tiende a cero de f de x más h - efe de x / h pero a ver en este ejemplo cuánto es fx más h todo esto es igual al límite cuando h tiende a cero df de x + h y eso es que porque de x + h y luego tenemos que restar efe de x pero efe de x es k porque de x y estamos dividiendo esto entre h ahora por aquí podemos factorizar está acá y nos queda el límite cuando h tiende a cero de acá por g de x + h - gx / h aquí lo único que hicimos fue factorizar esta constante k ahora por las propiedades de los límites nosotros sabemos que esto es igual a la constante k límite cuando h tiende a 0 de g de x + h menos g de x / h y por supuesto todo esto que tenemos aquí es simplemente que prima de x así es que esto es igual acá porque prima de x y ahí tengo una idea de algo que podrías estar pensando en estos momentos tú podrías haber dicho oye esto parece como que sí es cierto así es que simplemente supongamos que es cierto pero uno no puede ir por la vida suponiendo este tipo de cosas así nada más es cierto una vez que empiezas a pensar en esto parece algo muy natural pero en las matemáticas no podemos simplemente suponer que las cosas son ciertas porque nos parece razonable que sean ciertas nosotros tenemos que demostrar que si son ciertas tenemos que estar seguros de otra forma podemos terminar construyendo uno donde cosas y sacando muchas conclusiones basándonos en fundamentos que no son sólidos pero esto que hicimos aquí nos asegura que esto sí es cierto y que lo podemos utilizar sin correr el riesgo de llegar a alguna contradicción así es que es bueno hacer todo esto aunque parezca que estamos haciendo mucho trabajo para llegar a una conclusión que ya nos parecía bastante razonable pero bueno ahora vamos a ver la tercera propiedad la tercera propiedad nos dice que si una función fx es igual a la suma de otras dos funciones por ejemplo g de x j de x entonces f prima de x es igual a g prima de x más j prima de x y bueno esto también es cierto si aquí en lugar de tener un + tenemos un menos si en lugar de que éstas sean sumas son restas si tienes la suma o resta de dos funciones la derivada va a ser la suma o resta de las derivadas de esas dos funciones y otra vez para asegurarnos de que esto es cierto podemos recurrir a la definición del límite f prima de x es igual al límite cuando h tiende a 0 de fx + h pero cuánto sf x + h bueno pues es dx más h más j de x más h bueno y todo esto es simplemente efe de x + h todavía nos falta a restar fx y fx tx más jota de equis porque ya que tenemos efe dx más h y aquí tenemos fx y queremos dividir todo esto entre h y aquí podemos reacomodar estos términos y nos queda como el límite cuando h tiende a cero deje de x más h - g de x más j de x más h - j de x / h pero esto también lo podemos poner de esta otra forma como estos dos términos entre h más estos otros dos términos entre h y estas dos formas son exactamente iguales ahora esto que tenemos aquí nosotros sabemos por las propiedades de los límites que esto es igual al límite cuando h tiende a cero deje de x más h - g de x / h más límite cuando h tiende a 0 de j de x + h - j de x / h ahora esto que tenemos aquí es la definición de g prima de x y esto que tenemos por acá es la definición de j prima de x y listo ya terminamos la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas ahora si en lugar de estar sumando estuviéramos restando por aquí tendríamos un signo menos eso se pasaría por acá y aquí tendríamos una resta y entonces estas derivadas estarían restando pero bueno espero que todo esto haya hecho que te sientas muy seguro de que estas propiedades son ciertas sí es cierto tal vez podríamos haber adivinado que son ciertas estas propiedades pero es muy bueno utilizar las definiciones de derivada para estar completamente seguros de que en efecto estas propiedades son verdaderas