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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Curso: Cálculo, todo el contenido (edición 2017) > Unidad 2

Lección 20: Regla de la cadena
Matemáticas
Cálculo, todo el contenido (edición 2017)
Calcular derivadas
Regla de la cadena
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Resumen de la regla de la cadena

Google Classroom
Un hoja con un resumen rápido de la regla de la cadena.

Introducción

Si f, left parenthesis, x, right parenthesis y g, left parenthesis, x, right parenthesis son dos funciones, por ejemplo f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, sabemos cómo sacar la derivada de su suma:
Regla:start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Ejemplo:start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, 2, x, plus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis
También sabemos cómo sacar la derivada de su producto:
Regla:start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Ejemplo:start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, squared, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, 2, x
La regla de la cadena ahora nos dice cómo sacar la derivada de su composición, o bien f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:
Regla:start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99
Ejemplo:start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, equals, 2, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99

Intuición al usar álgebra falsa

Advertencia: la siguiente sección puede causarles dolor de cabeza o mareo a los lectores sensibles al abuso violento de notación.
Tendemos a escribir las funciones y sus derivadas en términos de la variable x.
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x
Pero claro, podríamos usar cualquier otra letra.
start fraction, d, divided by, d, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, right parenthesis, equals, 2, start color #11accd, a, end color #11accd
¿Qué pasaría si hiciéramos algo loco y reemplazáramos x con una función en lugar de otra letra?
start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, squared, equals, 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd
No es exactamente claro qué debería significar start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end fraction, pero continuemos por ahora. Podemos imaginarnos multiplicarlo por start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, divided by, d, x, end fraction para "cancelar" el término d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:
start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, divided by, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, end fraction, dot, start fraction, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared
Esto no es algo matemáticamente válido, ya que los términos "d, x" y "d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis" no son números o funciones que podamos cancelar. Hay formas de hacer esto legítimo que involucran matemáticas un poco más avanzadas, pero por ahora puedes pensar acerca de esto como un truco mental útil. La utilidad es que cuando desarrollamos start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared de esta manera, sabemos qué es cada término individual, incluso si no sabemos cómo sacar la derivada de left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared:
ddx(sin⁡(x))2=d(sin⁡(x))2d(sin⁡(x))⏟Imagina reemplazar xcon sin⁡(x) en d(x2)dx⋅d(sin⁡(x))dx⏟Derivada ordinariade sin⁡(x)=2sin⁡(x)⋅cos⁡(x)
Este truco se ve particularmente limpio cuando lo escribimos en abstracto, en lugar del caso específico de x, squared y sine, left parenthesis, x, right parenthesis:
start box, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, dot, start fraction, d, g, divided by, d, x, end fraction, end box

Ejemplo 1:

f(x)=sin⁡(x2)Funcioˊn a diferenciaru(x)=x2Define u(x) como funcioˊn internaf(x)=sin⁡(u)Expresa f(x) en teˊrminos de u(x)dfdx=dfdu⋅dudxAquıˊ se aplica la regla de la cadenadfdx=ddusin⁡(u)⋅ddx(x2)Sustituye f(u) y u(x)dfdx=cos⁡(u)⋅2xEvaluˊa las derivadasdfdx=cos⁡(x2)(2x)Sustituye u en teˊrminos de x.\begin{aligned} f(x) &= \sin(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Función a diferenciar}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{Define $u(x)$ como función interna}}} \\ & \\ f(x) &= \sin(u) \quad \quad \small{\gray{\text{Expresa $f(x)$ en términos de $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{Aquí se aplica la regla de la cadena}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}\sin(u) \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $f(u)$ y $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(u) \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Evalúa las derivadas}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(x^2)(2x) \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $u$ en términos de $x$.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Ejemplo 2:

Algo genial que podemos hacer ahora es encontrar la derivada de la función valor absoluto vertical bar, x, vertical bar, la cual se puede definir como square root of, x, squared, end square root. Por ejemplo, vertical bar, minus, 5, vertical bar, equals, square root of, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
f(x)=∣x∣Funcioˊn a diferenciarf(x)=x2Funcioˊn equivalenteu(x)=x2Define u(x) como funcioˊn internaf(x)=[u(x)]12Expresa f(x) en teˊrminos de u(x)dfdx=dfdu⋅dudxAquıˊ se aplica la regla de la cadenadfdx=dduu12⋅ddx(x2)Sustituye f(u) y u(x)dfdx=12u−12⋅2xCalcula las derivadas con la regla de potenciasdfdx=12(x2)−12⋅2xSustituye u(x) en teˊrminos de xdfdx=xx2Simplificadfdx=x∣x∣Expresa x2 como valor absoluto.\begin{aligned} f(x) &= \left|x\right| \quad \quad \small{\gray{\text{Función a diferenciar}}} \\ & \\ f(x) &= \sqrt{x^2} \quad \quad \small{\gray{\text{Función equivalente}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{Define $u(x)$ como función interna}}} \\ & \\ f(x) &= [u(x)]^\frac{1}{2} \quad \quad \small{\gray{\text{Expresa $f(x)$ en términos de $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{Aquí se aplica la regla de la cadena}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}u^\frac{1}{2} \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $f(u)$ y $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Calcula las derivadas con la regla de potencias}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}\left(x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $u(x)$ en términos de $x$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \quad \quad \small{\gray{\text{Simplifica}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\left|x\right|} \quad \quad \small{\gray{\text{Expresa $\sqrt{x^2}$ como valor absoluto.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Composición arbitrariamente larga

La regla de la cadena se puede aplicar a la composición de muchas funciones, no solo de dos. Por ejemplo, supón que A, left parenthesis, x, right parenthesis, B, left parenthesis, x, right parenthesis, C, left parenthesis, x, right parenthesis y D, left parenthesis, x, right parenthesis son cuatro funciones diferentes, y define que f sea su composición:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis
Al usar la notación start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction para la derivada, podemos aplicar la regla de la cadena así:
start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, A, divided by, d, B, end fraction, dot, start fraction, d, B, divided by, d, C, end fraction, dot, start fraction, d, C, divided by, d, D, end fraction, dot, start fraction, d, D, divided by, d, x, end fraction
Al usar la notación f, prime, se ve de la siguiente manera:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, prime, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, dot, B, prime, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, dot, C, prime, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, dot, D, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

Ejemplo 4:

Supón que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, e, start superscript, x, squared, plus, x, end superscript, right parenthesis.
Pensamos acerca de f como la composición de
A(x)=sin⁡(x)B(x)=exC(x)=x2+x\begin{aligned} A(x) &= \blueE{\sin(x)}\\ B(x) &= \greenE{e^x} \\ C(x) &= \redE{x^2 + x} \end{aligned}
Donde la derivada de cada función es
A′(x)=cos⁡(x)B′(x)=exC′(x)=2x+1\begin{aligned} A'(x) &= \blueE{\cos(x)}\\ B'(x) &= \greenE{e^x} \\ C'(x) &= \redE{2x + 1} \end{aligned}
De acuerdo a la regla de la cadena, la derivada de la composición es
f′(x)=A′(B(C(x)))⋅B′(C(x))⋅C′(x)=cos⁡(ex2+x)⋅ex2+x⋅(2x+1)\begin{aligned} f'(x) &= A'(B(C(x))) \cdot B'(C(x)) \cdot C'(x) \\ & \\ &= \boxed{\large \blueD{\cos}(e^{x^2 + x}) \cdot \greenD{e}^{x^2 + x} \cdot \redD{(2x + 1)}} \end{aligned}

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