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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)
Curso: Cálculo, todo el contenido (edición 2017) > Unidad 2
Lección 20: Regla de la cadena- Regla de la cadena
- Ejemplo resuelto: derivada de cos³(x) con la regla de la cadena
- Ejemplo resuelto: la derivada de ln(√x) usando la regla de la cadena
- Ejemplo resuelto: derivada de √(3x²-x) con la regla de la cadena
- Introducción de la regla de cadena
- Resumen de la regla de la cadena
- Ejemplo resuelto: regla de la cadena con una tabla
- Regla de la cadena con tablas
- La regla del cociente a partir de las reglas del producto y de la cadena
- Aplicar la regla de la cadena gráficamente 1 (antiguo)
- Aplicar la regla de la cadena gráficamente 2 (antiguo)
- Aplicar la regla de la cadena gráficamente 3 (antiguo)
- Regla de la cadena
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Resumen de la regla de la cadena
Un hoja con un resumen rápido de la regla de la cadena.
Introducción
Si f, left parenthesis, x, right parenthesis y g, left parenthesis, x, right parenthesis son dos funciones, por ejemplo f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, sabemos cómo sacar la derivada de su suma:
Regla: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | |
Ejemplo: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, 2, x, plus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis |
También sabemos cómo sacar la derivada de su producto:
Regla: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | |
Ejemplo: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, squared, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, 2, x |
La regla de la cadena ahora nos dice cómo sacar la derivada de su composición, o bien f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:
Regla: | start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99 | |
Ejemplo: | start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, equals, 2, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99 |
Intuición al usar álgebra falsa
Advertencia: la siguiente sección puede causarles dolor de cabeza o mareo a los lectores sensibles al abuso violento de notación.
Tendemos a escribir las funciones y sus derivadas en términos de la variable x.
Pero claro, podríamos usar cualquier otra letra.
¿Qué pasaría si hiciéramos algo loco y reemplazáramos x con una función en lugar de otra letra?
No es exactamente claro qué debería significar start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end fraction, pero continuemos por ahora. Podemos imaginarnos multiplicarlo por start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, divided by, d, x, end fraction para "cancelar" el término d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:
Esto no es algo matemáticamente válido, ya que los términos "d, x" y "d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis" no son números o funciones que podamos cancelar. Hay formas de hacer esto legítimo que involucran matemáticas un poco más avanzadas, pero por ahora puedes pensar acerca de esto como un truco mental útil. La utilidad es que cuando desarrollamos start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared de esta manera, sabemos qué es cada término individual, incluso si no sabemos cómo sacar la derivada de left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared:
Este truco se ve particularmente limpio cuando lo escribimos en abstracto, en lugar del caso específico de x, squared y sine, left parenthesis, x, right parenthesis:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Algo genial que podemos hacer ahora es encontrar la derivada de la función valor absoluto vertical bar, x, vertical bar, la cual se puede definir como square root of, x, squared, end square root. Por ejemplo, vertical bar, minus, 5, vertical bar, equals, square root of, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Composición arbitrariamente larga
La regla de la cadena se puede aplicar a la composición de muchas funciones, no solo de dos. Por ejemplo, supón que A, left parenthesis, x, right parenthesis, B, left parenthesis, x, right parenthesis, C, left parenthesis, x, right parenthesis y D, left parenthesis, x, right parenthesis son cuatro funciones diferentes, y define que f sea su composición:
Al usar la notación start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction para la derivada, podemos aplicar la regla de la cadena así:
Al usar la notación f, prime, se ve de la siguiente manera:
Ejemplo 4:
Supón que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, e, start superscript, x, squared, plus, x, end superscript, right parenthesis.
Pensamos acerca de f como la composición de
Donde la derivada de cada función es
De acuerdo a la regla de la cadena, la derivada de la composición es
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- ¿A la regla de la cadena le falta un paréntesis del lado izquierdo?(1 voto)
- ¿Cómo podemos saber la cantidad de funciones que componen a otra?(1 voto)
- ¿Crees que pueda hacer preguntas de derivadas más cencillos?(1 voto)