La relación gráfica entre una función y su derivada (parte 2)

en el último vídeo analizamos una función e intentamos dibujar su derivada y en este vídeo veremos una función e intentaremos dibujar su anti derivada y su anti derivada parece ser una palabra am como que media elegante pero pero la anti derivada de una función es una función cuya derivada es esa función por ejemplo tenemos aquí a fx y digamos que la anti derivada de fx la anti derivada de fx es f mayúscula de x ésta tiende a hacer la anotación cuando estamos hablando de la anti derivada esto simplemente significa que la derivada de f mayúscula de x lo cual es igual a efe mayúscula prima de x es igual a efe x lo que intentaremos hacer aquí tú puedes ver que tenemos nuestra fx y vamos a pensar cuál es una posible función de la cual ésta pueda hacer su derivada esto lo puedes lo vas a estudiar con más detalle cálculo integral pero hay varias funciones de la cual ésta podría ser su derivada y nuestra meta en este vídeo es dibujar una posibilidad razonable entonces pensemos en ello un poco acá tenemos a y es igual a efe mayúscula de x lo que intentaremos hacer aquí es dibujar una función donde su derivada pueda verse así y lo que hacemos es decir de lo que tenemos acá a esto tomando su derivada entonces pensemos en cómo podría ver si una función cuando vemos su derivada cuando vemos su derivada dice que en el primer intervalo en este primer intervalo lo voy a hacer en morado es este intervalo desde x igual a 0 hasta llegar al valor cualquiera que sea este de acá arriba nos dice que la pendiente es una constante positiva de valor 1 entonces voy a dibujar una línea con una pendiente de constante positiva 1 y yo podría desplazar esta línea hacia arriba o hacia abajo porque hay muchas anti derivadas posibles simplemente voy a elegir la que mejor me convenga entonces yo podría tener una línea que se mira algo así lo que intento hacer es dibujar una línea con pendiente positiva 1 lo mejor que pueda entonces se ve así y yo podría hacer que la función esté definida o no la derivada no está definida en ese punto sin embargo yo puedo dejar mi línea definida o indefinida como mejor me parezca esto tal vez sea un punto de discontinuidad en la función original no tiene por qué serlo simplemente yo intento dibujar una posible función entonces digamos que si está definido en ese punto pero como esto va a ser discontinuo la derivada estará indefinida en ese punto y ahí tenemos nuestro primer intervalo ahora veamos el segundo intervalo el intervalo que inicia dónde termina el primero hasta llegar más o menos aquí como puedes ver la derivada es una constante negativa de menos 2 entonces eso quiere decir que acá arriba tendrá una línea una pendiente constante de valor menos 2 tendrá el doble de declive que la función anterior yo podría simplemente hacer una función continua parece que este intervalo tiene la mitad de longitud que este otro intervalo de aquí está más o menos parece eso no podría yo simplemente dibujar una línea con pendiente de menos 2 entonces se miraría algo así lo voy a hacer un poco mejor esté aquí de aquí acá se mirarían algo así y ahora bien esta línea tiene una pendiente de 1 lo podemos ver en su derivada aquí lo ves y esta otra línea tiene una pendiente de menos 2 pendiente de -2 también lo podemos ver en su derivada ahora aquí se pone la cosa interesante yo podría trasladar esta línea hacia arriba o abajo no tiene por qué ser una función continua pero lo hago por por divertirme ahora aquí hay muchas posibles anti derivadas de esta función muy bien entonces qué sucede en el siguiente intervalo que sucede aquí lo voy a hacer en naranja la pendiente inicia en un valor alto en dos positivos pero después decrece hasta llegar a cero aquí está el cero entonces acá está cero y después se hace más y más y más y más negativa entonces intentaré hacer una función continua no tiene por qué ser continua simplemente lo hago por diversión así que aquí la pendiente es positiva es de 2 positivo será una línea con pendiente positiva 2 lo contrario a la anterior la otra era de menos 2 luego se hace cada vez menos y menos positiva aún aquí es positiva llegar a 0 y donde es 0 más o menos será más o menos por aquí supongo ajá por aquí entonces lo que tendremos es como una parábola una parábola hacia abajo nótese que la pendiente tiene un valor positivo aquí tiene pendiente 2 luego se hace menos y menos y menos positiva hasta llegar al 0 después de pendiente se hace negativa entonces nuestra función se mirará algo así sobre el intervalo de hecho no me gustó porque porque bueno lo haré un poco mejor porque nótese que bueno esta función es simétrica cierto entonces nuestra curva se mirará am también debe ser simétrica entonces se mirarán a algo así y finalmente el último intervalo vamos con el último aunque parece el que sigue indefinidamente entonces bueno tiene pendiente 0 no tengo por qué dibujar una función continua pero cuando la pendiente 0 eso quiere decir que tengo una línea con pendiente 0 tengo una línea horizontal podría dibujar esa línea horizontal aquí arriba entonces podría yo decir que es discontinua o podría dibujarla también aquí acá abajo y tratar de hacer una tratar de hacer que mi anti derivada sea una función continua una vez más yo podría desplazar cualquiera de estos segmentos hacia arriba o hacia abajo hubiera obtenido la misma derivada pero no tendría una función continua como esta es cierto pero tuvimos éxito porque construimos una a una posible anti derivada para fx ahora como recordatorio la anti derivada es una función donde f x podría ser su derivada