La relación gráfica entre una función y su derivada (parte 1)

tengo esta función localmente discontinua a la que llamaremos fx ajá entonces bueno mi meta es intentar dibujar su derivada aquí entonces quiero que pienses en la pendiente de la línea tangente la la pendiente en cada punto de esta curva y bueno voy a intentar lo mejor posible de dibujar su pendiente entonces ataquemos el problema aquí justo en este punto la pendiente es positiva en un buen intervalo y mientras nos alejamos mientras las x crecen la pendiente sigue positiva pero menos positiva cada vez luego en este punto aquí en este punto se hace cero entonces voy a ver cómo puedo dibujar esto acá abajo aquí sabemos que la pendiente debe ser cero y recuerda que yo aquí intenta de dibujar allí igual a efe prima de x asumiré que este es un tipo de parábola estoy aquí y en un momento verás porque yo debo asumir eso aquí la pendiente es positiva entonces bueno la pendiente está más o menos por aquí luego cada vez es cada vez es menos positiva cierto asumiré que lo hace de manera lineal por eso asumo que es una parábola observa aquí que la pendiente sigue siendo positiva por lo tanto cuando veas la derivada la pendiente aún tendrá un valor positivo como puedes ver mientras las x van creciendo la pendiente será cada vez menos positiva hasta llegar a cero luego la pendiente se hará cada vez más y más y más y más negativa entonces en este punto parece que la pendiente es tan negativa como positiva del otro lado así que en este punto la pendiente es tan negativa como fue positiva acá arriba cierto y bueno parece razonable todo esto que yo digo la pendiente de la tangente en este intervalo visto así parece razonable ahora pensemos en este otro punto aquí la pendiente parece constante nuestra pendiente es un valor ante mente positivo entonces una vez más aquí si voy aquí voy a ser cuidadosa porque en este punto la pendiente no estará definida realmente porque como tú puedes observar aquí yo puedo dibujar múltiples líneas tangentes en este pequeño punto entonces dibujaré aquí un pequeño círculo y bueno ahí está la discontinuidad ahora bien acá tú puedes ver que la pendiente parece ser positiva así que la voy a dibujar aunque aunque no tan positiva como lo fue acá en la parábola cierto no no fue tan positiva como acá pero la pendiente es una constante positiva en todo el intervalo que abarca tenemos una línea más o menos la voy a dibujar acá abajo está más o menos así la línea es una es constante aquí voy a dibujar unas líneas para para dejar claro en qué intervalos estoy trabajando así que voy a borrar aquí para dejar entonces así más o menos van quiero que coincida totalmente esto lo más que se pueda lo voy a hacer lo mejor que pueda acabamos de decir que tenemos una pendiente constante positiva entonces digamos que que se mira algo de esta manera luego observamos acá en este punto justo en este punto nuestra pendiente está indefinida no hay una manera de encontrar aquí la pendiente con esta discontinuidad pero cuando vamos hacia acá aunque el valor de nuestra función ha bajado aún tenemos una pendiente constante positiva de hecho la pendiente de esta línea aparece idéntica a la de esta otra línea entonces continuaremos con esta misma pendiente una vez más está indefinida así que en este punto hay discontinuidad así que pongo un círculo entonces la pendiente se mirará algo así luego subimos aquí y el valor de esta función sube pero ahora la función está plana por lo tanto la pendiente en este intervalo es cero entonces lo ponemos así bueno voy aquí a marcar en este intervalo bueno voy a marcar el interior en el cual estoy yo trabajando en este intervalo la pendiente es 0 y finalmente en esta última sección la pendiente del área en otro color color naranja sí entonces en esta sección la pendiente se hace negativa pero es una constante negativa entonces