La derivada como un límite: numérico

ahora quiere encontrar la derivada de la función fx igual a x al cuadrado más 1 en el punto x igualados la tabla de abajo muestra el promedio de la razón de cambio de la función f sobre el intervalo desde el punto x hasta 2 o de 2 al punto x para los valores de x que se acercan cada vez más a 2 esta tabla muestra el promedio de la razón de cambio de la función f sobre el intervalo correspondiente ya sea de x a 2 o de 2a x para valores de x que se acercan cada vez más a 2 esta parte nos está dando una pista de que vamos a tener un límite por ahí de que vamos a aproximar un límite o vamos a calcularlo así es que veamos estos datos que tenemos por acá por aquí tenemos algunos valores de x por acá el promedio de la razón de cambio de estos intervalos que son intervalos entre el valor de x y 2 así es que ya tenemos el promedio de la razón de cambio que ya cálculos hará no necesitamos volver a calcularlo pero es un muy buen repaso recordemos cómo le haríamos para calcular este promedio de la razón de cambio por aquí nos lo están recordando y aquí x es igual a 1.9 entonces tenemos efe de 1.9 cuál es el valor de f cuando x es igual a 1.9 y después a eso sara le restó el valor de f cuando x es igual a 2 y cuanto sfn x igualados pero bueno toda esta resta junta efe de 1.9 menos f de 2 es igual al cambio en f pero lo tenemos que dividir entre x menos 2 x es 1.9 1.9 y luego menos 2 así es que aquí tenemos el cambio en f entre el cambio en x esto de acá es el promedio de la razón de cambio de f en este intervalo y bueno ella escogió el intervalo entre 1.9 y 2 y lo que obtuvo es 3.9 pero luego se la tomó una x más cerca de 2 ahora lo está haciendo entre 1.99 y 2 y obtuvo como promedio de la razón de cambio 3.99 y esto parece como que se está acercando cada vez más a 4 y luego escoge una x todavía más cerca de 2 y obtiene un promedio todavía más cerca de 4 y luego se pasa y se va del otro lado ok por aquí podríamos decir que está aproximándose a 2 del lado izquierdo pero si ahora nos vamos del otro lado por aquí x se está aproximando a dos del lado derecho y cuando x es igual a 2.1 el promedio de la razón de cambio es 4.1 y luego si x es igual a 2.01 otra vez nos estamos acercando a 2 el promedio es 4.0 1 y eso también es acercarse a 4 entre más nos acercamos al 2 el promedio se acerca cada vez más a 4 y entonces lo que estos datos nos están ayudando a aproximar es esto sabemos que el promedio de la razón de cambio es f x - efe de 2 entre x menos 2 pero en lo que realmente estamos pensando es cuál es el límite cuando x tiende a 2 eso es en lo que nos están ayudando estos datos y parece como que este límite es igual a 4 eso es lo que nos están diciendo estos datos que no importa si nos acercamos del lado izquierdo o nos acercamos del lado derecho a 2 entre más nos acercamos a 2 esta expresión que es el promedio de la razón de cambio más se acerca a 4 y además tal vez reconozcas en estos momentos que esta expresión es la definición de derivada bueno una de las definiciones de derivada ok este límite es f prima evaluada en 2 la derivada de la función f en 2 es el límite conforme x se aproxima a 2 de toda esta expresión hay otras formas de expresar la derivada de una función pero ésta también es una de ellas así es que ya estamos listos para contestar esta pregunta utilizando la tabla a que se parece la derivada de la función fx igual a x cuadrada más 1 en x igualados bueno pues parece ser que la derivada de la función en x igualados se parece a 4 y listo ya terminamos